Mathematics: Hcfandlcm Basic Mock Test – Free Online Practice

Mathematics: Hcfandlcm Basic ke liye free mock test: 19 questions, timer, negative marking aur explanation ke saath. Koi login nahi, koi payment nahi — turant shuru karein.

Is Test Me Kya Milta Hai?

Mathematics: Hcfandlcm Basic ke liye ye 19 questions ka practice set General Knowledge pattern par banaya gaya hai. Test me 45 second per question ka timer hai aur har galat answer par 0.25 marks kate jaate hain — bilkul asli exam jaisa. Submit karne ke baad aapko exact score, accuracy aur har question ka explanation milta hai. Bihar ke competitive exams (BPSC, BSSC, Bihar Police, BTSC) ki tayari karne wale students ke liye.

Practice Questions (19 of 19)

Neeche is set ke kuch questions hain — inhi par aapka timed test banega. Answer dekhne ke liye “Answer” par click karein.

1. The LCM of 144, 360 and 450 is:
   144, 360 और 450 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) क्या है:
   (A) (a) 4800

   (B) (b) 3600

   (C) (c) 7200

   (D) (d) 2400
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: B) (b) 3600

   Explanation: Method 1 (Prime Factorisation Method): Step 1: दी गई संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड ज्ञात करें: - $144 = 16 \times 9 = 2^4 \times 3^2$ - $360 = 8 \times 9 \times 5 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1$ - $450 = 2 \times 9 \times 25 = 2^1 \times 3^2 \times 5^2$ Step 2: प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की उच्चतम घात लें: - $2$ की उच्चतम घात = $2^4 = 16$ - $3$ की उच्चतम घात = $3^2 = 9$ - $5$ की उच्चतम घात = $5^2 = 25$ Step 3: LCM = $2^4 \times 3^2 \times 5^2 = 16 \times 9 \times 25 = 3600$. अतः सही विकल्प (b) 3600 है। Method 2 (Division Method): Step 1: 144, 360, 450 को 18 से भाग देने पर भागफल क्रमशः 8, 20, 25 प्राप्त होते हैं। Step 2: LCM(8, 20, 25) = 200. Step 3: अभीष्ट LCM = $18 \times 200 = 3600$. अतः सही उत्तर (b) है।
2. The HCF of three numbers 105, 335 and 465 will be:
   तीन संख्याओं 105, 335 और 465 का महत्तम समापवर्तक (HCF) होगा:
   (A) (a) 11

   (B) (b) 5

   (C) (c) 7

   (D) (d) 3
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: B) (b) 5

   Explanation: Method 1 (Prime Factorisation Method): Step 1: अभाज्य गुणनखंड करें: - $105 = 3 \times 5 \times 7$ - $335 = 5 \times 67$ - $465 = 3 \times 5 \times 31$ Step 2: तीनों संख्याओं में केवल $5$ ही उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंड है। अतः $\text{HCF} = 5$. अतः सही विकल्प (b) 5 है। Method 2 (Difference / Option Elimination Method): Step 1: संख्याओं के इकाई का अंक 5 है, अतः वे निश्चित रूप से 5 से विभाज्य हैं। Step 2: 335 के अंकों का योग $3+3+5=11$ है जो 3 से नहीं कटता, अतः 3 HCF नहीं हो सकता। 7 और 11 भी 335 को विभाजित नहीं करते। अतः HCF केवल 5 है। अतः सही उत्तर (b) है।
3. What is the largest common divisor of the numbers 1026, 2268 and 2430?
   संख्याओं 1026, 2268 और 2430 का सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक (HCF) क्या है?
   (A) (a) 108

   (B) (b) 54

   (C) (c) 81

   (D) (d) 27
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: B) (b) 54

   Explanation: Method 1 (Difference Method): Step 1: निकटतम दो संख्याओं का अंतर ज्ञात करें: $$\text{अंतर} = 2430 - 2268 = 162$$ Step 2: HCF या तो 162 होगा या 162 का कोई गुणनखंड होगा: $162 = 54 \times 3$. Step 3: 54 की विभाज्यता जाँचें: - $1026 / 54 = 19$ - $2268 / 54 = 42$ - $2430 / 54 = 45$ चूँकि 1026 एक विषम संख्या के गुणज (19) पर समाप्त होता है और 108 से विभाज्य नहीं है ($1026 / 108 = 9.5$), अतः सबसे बड़ा उभयनिष्ठ भाजक 54 है। अतः सही विकल्प (b) 54 है। Method 2 (Prime Factorisation): - $1026 = 2 \times 3^3 \times 19 = 54 \times 19$ - $2268 = 2^2 \times 3^4 \times 7 = 54 \times 42$ - $2430 = 2 \times 3^5 \times 5 = 54 \times 45$ उभयनिष्ठ गुणनखंड = $2^1 \times 3^3 = 54$. अतः सही उत्तर (b) है।
4. The least common multiple of 48 and 64 is _____ times the highest common factor of 12 and 18.
   48 और 64 का लघुत्तम समापवर्त्य, 12 और 18 के महत्तम समापवर्तक का _____ गुना है।
   (A) (a) 28

   (B) (b) 32

   (C) (c) 24

   (D) (d) 16
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: B) (b) 32

   Explanation: Method 1 (Step-by-Step Calculation Method): Step 1: 48 और 64 का LCM निकालें: - $48 = 16 \times 3 = 2^4 \times 3$ - $64 = 2^6$ $$\text{LCM}(48, 64) = 2^6 \times 3 = 64 \times 3 = 192$$ Step 2: 12 और 18 का HCF निकालें: - $12 = 6 \times 2$ - $18 = 6 \times 3$ $$\text{HCF}(12, 18) = 6$$ Step 3: अभीष्ट अनुपात निकालें: $$\text{गुना} = \frac{\text{LCM}(48, 64)}{\text{HCF}(12, 18)} = \frac{192}{6} = 32$$ अतः सही विकल्प (b) 32 है। Method 2 (Direct Division): $\frac{192}{6} = 32$. अतः सही उत्तर (b) है।
5. The highest common factor of 108, 72 and 5a is a. What can be the least common multiple of 108, 72 and a?
   108, 72 और 5a का महत्तम समापवर्तक a है। 108, 72 और a का लघुत्तम समापवर्त्य क्या हो सकता है?
   (A) (a) 432

   (B) (b) 324

   (C) (c) 108

   (D) (d) 216
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: D) (d) 216

   Explanation: Method 1 (Factor & Property Method): Step 1: 108 और 72 का उभयनिष्ठ गुणनखंड निकालें: - $108 = 36 \times 3$ - $72 = 36 \times 2$ $$\text{HCF}(108, 72) = 36$$ Step 2: दिया गया है कि $\text{HCF}(108, 72, 5a) = a$. चूँकि HCF संख्याओं के किसी भी उपसमुच्चय के HCF को विभाजित करता है, अतः $a$ को $\text{HCF}(108, 72) = 36$ का एक भाजक होना चाहिए। Step 3: अब हमें $\text{LCM}(108, 72, a)$ ज्ञात करना है: $$\text{LCM}(108, 72) = 216$$ चूँकि $a$, 36 का एक भाजक है, और 36 स्वयं 216 का एक गुणनखंड है, इसलिए $a$ सदैव 216 को पूर्णतः विभाजित करेगा। Step 4: किसी भी संख्या और उसके भाजक का LCM वह संख्या स्वयं होती है: $$\text{LCM}(108, 72, a) = \text{LCM}(\text{LCM}(108, 72), a) = \text{LCM}(216, a) = 216$$ अतः सही विकल्प (d) 216 है। Method 2 (Verification with Value of a): मान लें $a = 36$: $\text{HCF}(108, 72, 180) = 36 = a$ (संतुष्ट)। तब $\text{LCM}(108, 72, 36) = 216$. अतः सही उत्तर (d) है।
6. If P = 2^3 * 3^5, Q = 2^5 * 3^4, and R = 3^5 * 2^2 then what is the highest common factor of P, Q and R?
   यदि P = 2^3 * 3^5, Q = 2^5 * 3^4, और R = 3^5 * 2^2 है, तो P, Q और R का महत्तम समापवर्तक क्या है?
   (A) (a) 2^3 * 3^4

   (B) (b) 2^5 * 3^5

   (C) (c) 2^2 * 3^4

   (D) (d) 2^4 * 3^5
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: C) (c) 2^2 * 3^4

   Explanation: Method 1 (Lowest Exponent Rule Method): Step 1: HCF निकालने के लिए प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य आधार की न्यूनतम घात (Lowest Power) ली जाती है: - $2$ की घातें: P में $3$, Q में $5$, R में $2$ हैं $\implies$ न्यूनतम घात = $2^2$ - $3$ की घातें: P में $5$, Q में $4$, R में $5$ हैं $\implies$ न्यूनतम घात = $3^4$ Step 2: $\text{HCF} = 2^2 \times 3^4$. अतः सही विकल्प (c) 2^2 * 3^4 है। Method 2 (Factor Inspection): उभयनिष्ठ पद = $\min(2^3, 2^5, 2^2) \times \min(3^5, 3^4, 3^5) = 2^2 \times 3^4$. अतः सही उत्तर (c) है।
7. The LCM of 2^3 * 9^2 * 13, 2^7 * 13^2 * 19 and 9^3 * 13^2 * 19^2 is:
   2^3 * 9^2 * 13, 2^7 * 13^2 * 19 और 9^3 * 13^2 * 19^2 का LCM क्या है:
   (A) (a) 2^3 * 9^2 * 13^2 * 19

   (B) (b) 2^3 * 9^3 * 13^2 * 19^2

   (C) (c) 2^7 * 9^2 * 13^2 * 19^2

   (D) (d) 2^7 * 9^3 * 13^2 * 19^2
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: D) (d) 2^7 * 9^3 * 13^2 * 19^2

   Explanation: Method 1 (Highest Exponent Rule Method): Step 1: LCM के लिए प्रत्येक पद की उच्चतम घात (Highest Power) ली जाती है: - आधार 2 की उच्चतम घात = $2^7$ - आधार 9 की उच्चतम घात = $9^3$ - आधार 13 की उच्चतम घात = $13^2$ - आधार 19 की उच्चतम घात = $19^2$ Step 2: सभी उच्चतम घातों का गुणनफल करें: $$\text{LCM} = 2^7 \times 9^3 \times 13^2 \times 19^2$$ अतः सही विकल्प (d) 2^7 * 9^3 * 13^2 * 19^2 है। Method 2 (Direct Inspection): दी गई संख्याओं के सभी गुणनखंडों का समावेशन करने वाला न्यूनतम व्यंजक $2^7 \times 9^3 \times 13^2 \times 19^2$ है। अतः सही उत्तर (d) है।
8. The LCM of 3/8, 5/16 and 7/2 is:
   3/8, 5/16 और 7/2 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) है:
   (A) (a) 101\frac{1}{2}

   (B) (b) 52\frac{1}{2}

   (C) (c) 28\frac{1}{2}

   (D) (d) 25\frac{1}{4}
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: B) (b) 52\frac{1}{2}

   Explanation: Method 1 (LCM of Fractions Formula Method): Step 1: भिन्नों का LCM ज्ञात करने का सूत्र: $$\text{भिन्नों का LCM} = \frac{\text{अंशों (Numerators) का LCM}}{\text{हरों (Denominators) का HCF}}$$ Step 2: अंशों (3, 5, 7) का LCM निकालें: $$\text{LCM}(3, 5, 7) = 3 \times 5 \times 7 = 105$$ Step 3: हरों (8, 16, 2) का HCF निकालें: $$\text{HCF}(8, 16, 2) = 2$$ Step 4: मान सूत्र में रखने पर: $$\text{LCM} = \frac{105}{2} = 52\frac{1}{2}$$ अतः सही विकल्प (b) 52 1/2 है। Method 2 (Division Verification): $105 / 2 = 52.5 = 52\frac{1}{2}$. अतः सही उत्तर (b) है।
9. The HCF of 1/2, 3/4, 5/6 and 7/8 is:
   1/2, 3/4, 5/6 और 7/8 का महत्तम समापवर्तक (HCF) है:
   (A) (a) \frac{105}{2}

   (B) (b) \frac{1}{24}

   (C) (c) \frac{7}{24}

   (D) (d) \frac{1}{48}
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: B) (b) \frac{1}{24}

   Explanation: Method 1 (HCF of Fractions Formula Method): Step 1: भिन्नों का HCF ज्ञात करने का सूत्र: $$\text{भिन्नों का HCF} = \frac{\text{अंशों (Numerators) का HCF}}{\text{हरों (Denominators) का LCM}}$$ Step 2: अंशों (1, 3, 5, 7) का HCF निकालें: $$\text{HCF}(1, 3, 5, 7) = 1$$ Step 3: हरों (2, 4, 6, 8) का LCM निकालें: $$\text{LCM}(2, 4, 6, 8) = 24$$ Step 4: मान सूत्र में रखने पर: $$\text{HCF} = \frac{1}{24}$$ अतः सही विकल्प (b) 1/24 है। Method 2 (Direct Observation): अंश 1 होने के कारण HCF का अंश केवल 1 हो सकता है। 2, 4, 6, 8 का LCM 24 है। अतः $\text{HCF} = 1/24$. अतः सही उत्तर (b) है।
10. Calculate the HCF of 12/5, 14/15 and 16/17.
    12/5, 14/15 और 16/17 का महत्तम समापवर्तक (HCF) ज्ञात कीजिए।
    (A) (a) \frac{4}{255}

    (B) (b) \frac{3}{255}

    (C) (c) \frac{2}{255}

    (D) (d) \frac{1}{255}
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: C) (c) \frac{2}{255}

    Explanation: Method 1 (HCF of Fractions Method): Step 1: सूत्र: $$\text{HCF} = \frac{\text{HCF}(12, 14, 16)}{\text{LCM}(5, 15, 17)}$$ Step 2: अंशों (12, 14, 16) का HCF निकालें: - $12 = 2 \times 6$ - $14 = 2 \times 7$ - $16 = 2 \times 8$ $$\text{HCF}(12, 14, 16) = 2$$ Step 3: हरों (5, 15, 17) का LCM निकालें: - $\text{LCM}(5, 15) = 15$ - चूँकि 17 एक अभाज्य संख्या है: $\text{LCM}(15, 17) = 15 \times 17 = 255$ Step 4: मान रखने पर: $$\text{HCF} = \frac{2}{255}$$ अतः सही विकल्प (c) 2/255 है। Method 2 (Factor Verification): अंशों का उभयनिष्ठ भाजक 2 है तथा हरों का LCM 255 है $\implies \frac{2}{255}$. अतः सही उत्तर (c) है।
11. What is the LCM of 0.15, 0.18 and 0.45?
    0.15, 0.18 और 0.45 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) क्या है?
    (A) (a) 0.6

    (B) (b) 0.9

    (C) (c) 0.81

    (D) (d) 0.09
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: B) (b) 0.9

    Explanation: Method 1 (Integer Scaling Method): Step 1: दशमलव के समान अंक (2 अंक) होने के कारण प्रत्येक संख्या को 100 से गुणा करें: - $0.15 \times 100 = 15$ - $0.18 \times 100 = 18$ - $0.45 \times 100 = 45$ Step 2: 15, 18 और 45 का LCM ज्ञात करें: - $15 = 3 \times 5$ - $18 = 2 \times 3^2$ - $45 = 3^2 \times 5$ $$\text{LCM}(15, 18, 45) = 2 \times 3^2 \times 5 = 2 \times 9 \times 5 = 90$$ Step 3: परिणाम को पुनः 100 से भाग दें: $$\text{LCM} = \frac{90}{100} = 0.90 = 0.9$$ अतः सही विकल्प (b) 0.9 है। Method 2 (Fraction Method): $\frac{15}{100}, \frac{18}{100}, \frac{45}{100} \implies \frac{\text{LCM}(15, 18, 45)}{100} = \frac{90}{100} = 0.9$. अतः सही उत्तर (b) है।
12. Find the LCM of 186.6 and 373.2.
    186.6 और 373.2 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ज्ञात कीजिए।
    (A) (a) 373.2

    (B) (b) 398.2

    (C) (c) 186.6

    (D) (d) 276.6
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: A) (a) 373.2

    Explanation: Method 1 (Multiple Property Method): Step 1: दी गई संख्याओं के बीच संबंध देखें: $$186.6 \times 2 = 373.2$$ Step 2: गणितीय नियम के अनुसार, यदि एक संख्या दूसरी संख्या का पूर्ण गुणज (Multiple) हो, तो बड़ी संख्या ही उनका LCM होती है: $$\text{LCM}(186.6, 373.2) = 373.2$$ अतः सही विकल्प (a) 373.2 है। Method 2 (Integer Conversion Method): Step 1: 10 से गुणा करने पर: 1866 और 3732. Step 2: $3732 = 1866 \times 2 \implies \text{LCM} = 3732$. Step 3: 10 से भाग देने पर = 373.2. अतः सही उत्तर (a) है।
13. What is the LCM of .126, 0.36 and 0.96?
    .126, 0.36 और 0.96 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) क्या है?
    (A) (a) 20160

    (B) (b) 20.16

    (C) (c) 201.60

    (D) (d) 2.016
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: B) (b) 20.16

    Explanation: Method 1 (Standard Decimal LCM Method): Step 1: दशमलव के अधिकतम अंक 3 हैं, अतः सभी संख्याओं को दशमलव के बाद 3 अंकों में समान करें: - $0.126 = 126 / 1000$ - $0.360 = 360 / 1000$ - $0.960 = 960 / 1000$ Step 2: 126, 360 और 960 का LCM निकालें: - $126 = 2 \times 3^2 \times 7$ - $360 = 2^3 \times 3^2 \times 5$ - $960 = 2^6 \times 3 \times 5$ $$\text{LCM} = 2^6 \times 3^2 \times 5 \times 7 = 64 \times 9 \times 35 = 576 \times 35 = 20160$$ Step 3: परिणाम को 1000 से भाग दें: $$\text{LCM} = \frac{20160}{1000} = 20.16$$ अतः सही विकल्प (b) 20.16 है। Method 2 (Verification): $20.16 / 0.126 = 160$, $20.16 / 0.36 = 56$, $20.16 / 0.96 = 21$ (सभी पूर्णांक हैं)। अतः सही उत्तर (b) है।
14. The LCM of x^2 - 8x + 15 and x^2 - 5x + 6 is:
    x^2 - 8x + 15 और x^2 - 5x + 6 का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) क्या है:
    (A) (a) (x + 5)(x + 2)(x + 3)

    (B) (b) (x - 5)(x - 2)(x - 3)

    (C) (c) (x + 5)(x - 2)(x - 3)

    (D) (d) (x - 2)(x - 3)^2(x - 5)
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: B) (b) (x - 5)(x - 2)(x - 3)

    Explanation: Method 1 (Factorisation Method): Step 1: पहले द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें: $$x^2 - 8x + 15 = x^2 - 5x - 3x + 15 = x(x - 5) - 3(x - 5) = (x - 5)(x - 3)$$ Step 2: दूसरे द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करें: $$x^2 - 5x + 6 = x^2 - 3x - 2x + 6 = x(x - 3) - 2(x - 3) = (x - 2)(x - 3)$$ Step 3: LCM ज्ञात करने के लिए सभी अद्वितीय गुणनखंडों की उच्चतम घात का गुणनफल करें: $$\text{LCM} = (x - 5)(x - 2)(x - 3)$$ अतः सही विकल्प (b) (x - 5)(x - 2)(x - 3) है। Method 2 (Value Putting Method): $x = 0$ रखने पर: व्यंजक 15 और 6 बनते हैं। LCM(15, 6) = 30. विकल्प (b) में $x = 0$ रखने पर: $(-5)(-2)(-3) = -30$ (परिमाण 30)। अतः सही उत्तर (b) है।
15. What is the HCF of (x^6 - 1) & (x^4 - 1)?
    (x^6 - 1) और (x^4 - 1) का महत्तम समापवर्तक (HCF) क्या है?
    (A) (a) (1 + x^2)

    (B) (b) (1 + x)

    (C) (c) (x^2 - 1)

    (D) (d) (1 - x)
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: C) (c) (x^2 - 1)

    Explanation: Method 1 (Algebraic Factorisation Method): Step 1: पहले व्यंजक $(x^6 - 1)$ का गुणनखंड करें: $$x^6 - 1 = (x^2)^3 - 1 = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)$$ Step 2: दूसरे व्यंजक $(x^4 - 1)$ का गुणनखंड करें: $$x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$$ Step 3: दोनों व्यंजकों में उभयनिष्ठ गुणनखंड (HCF) निकालें: $$\text{उभयनिष्ठ गुणनखंड} = (x^2 - 1)$$ अतः सही विकल्प (c) (x^2 - 1) है। Method 2 (Polynomial Degree Formula): $$\text{HCF}(x^m - 1, x^n - 1) = x^{\gcd(m, n)} - 1$$ यहाँ $m = 6$ और $n = 4$ है: $$\gcd(6, 4) = 2 \implies \text{HCF} = x^2 - 1$$ अतः सही उत्तर (c) है।
16. If the greatest common factor (HCF) of x and y is 15, then the HCF of 36x^2 - 81y^2 and 81x^2 - 9y^2 is divisible by _____.
    यदि x और y का महत्तम समापवर्तक (HCF) 15 है, तो 36x^2 - 81y^2 और 81x^2 - 9y^2 का HCF किससे विभाज्य है?
    (A) (a) 135

    (B) (b) 120

    (C) (c) 90

    (D) (d) 180
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: A) (a) 135

    Explanation: Method 1 (Algebraic Factor Method): Step 1: दिया गया है $\text{HCF}(x, y) = 15$, अतः मान लें $x = 15a$ और $y = 15b$, जहाँ $\gcd(a, b) = 1$. Step 2: दोनों व्यंजकों का विश्लेषण करें: - पहला व्यंजक: $36x^2 - 81y^2 = 9(4x^2 - 9y^2) = 9 \times [4(15a)^2 - 9(15b)^2] = 9 \times 225 \times (4a^2 - 9b^2) = 2025(4a^2 - 9b^2)$ - दूसरा व्यंजक: $81x^2 - 9y^2 = 9(9x^2 - y^2) = 9 \times [9(15a)^2 - (15b)^2] = 9 \times 225 \times (9a^2 - b^2) = 2025(9a^2 - b^2)$ Step 3: दोनों व्यंजकों में संख्यात्मक उभयनिष्ठ गुणनखंड $2025$ उपस्थित है। अतः उनका HCF सदैव $2025$ का एक गुणज (या भाज्य) होगा। Step 4: विकल्पों की 2025 से विभाज्यता जाँचें: - $\frac{2025}{135} = 15$ (पूर्णतः विभाज्य) - 120, 90, 180 सम संख्याएँ हैं जबकि $a$ और $b$ विषम होने पर व्यंजक विषम रह सकता है। अतः HCF निश्चित रूप से 135 से विभाज्य होगा। अतः सही विकल्प (a) 135 है। Method 2 (Testing with Minimum Values): $x = 15, y = 15$ रखने पर: $36(225) - 81(225) = -45(225)$ और $81(225) - 9(225) = 72(225)$. $\text{HCF}(45 \times 225, 72 \times 225) = 225 \times \text{HCF}(45, 72) = 225 \times 9 = 2025$. 2025 विकल्पों में से केवल 135 से विभाज्य है। अतः सही उत्तर (a) है।
17. What is the LCM of (8x^3 + 80x^2 + 200x) and (4x^4 + 16x^3 - 20x^2)?
    (8x^3 + 80x^2 + 200x) और (4x^4 + 16x^3 - 20x^2) का लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) क्या है?
    (A) (a) 8x^2(x + 5)^2(x - 1)

    (B) (b) 8x^2(x - 1)^2(x + 5)

    (C) (c) 4x^2(x - 1)^2(x + 5)

    (D) (d) 4x^2(x + 5)^2(x - 1)
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: A) (a) 8x^2(x + 5)^2(x - 1)

    Explanation: Method 1 (Factorisation Method): Step 1: पहले व्यंजक का गुणनखंड करें: $$8x^3 + 80x^2 + 200x = 8x(x^2 + 10x + 25) = 8x(x + 5)^2$$ Step 2: दूसरे व्यंजक का गुणनखंड करें: $$4x^4 + 16x^3 - 20x^2 = 4x^2(x^2 + 4x - 5) = 4x^2(x + 5)(x - 1)$$ Step 3: LCM ज्ञात करने के लिए: - संख्यात्मक गुणांक: $\text{LCM}(8, 4) = 8$ - $x$ की घात: $\max(x, x^2) = x^2$ - $(x + 5)$ की घात: $\max((x + 5)^2, (x + 5)) = (x + 5)^2$ - शेष पद: $(x - 1)$ $$\text{LCM} = 8x^2(x + 5)^2(x - 1)$$ अतः सही विकल्प (a) 8x^2(x + 5)^2(x - 1) है। Method 2 (Direct Inspection): गुणांक 8 और 4 का LCM = 8, $x$ और $x^2$ का LCM = $x^2$, $(x+5)^2$ और $(x-1)$ को सम्मिलित करने पर $8x^2(x + 5)^2(x - 1)$ प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर (a) है।
18. What is the HCF of the polynomials (x^3 - 8), (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) and (x^3 - 4x^2 + 4x)?
    बहुपदों (x^3 - 8), (x^3 - 6x^2 + 12x - 8) और (x^3 - 4x^2 + 4x) का महत्तम समापवर्तक (HCF) क्या है?
    (A) (a) (x - 2)

    (B) (b) (x - 1)

    (C) (c) (x - 4)

    (D) (d) (x - 8)
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: A) (a) (x - 2)

    Explanation: Method 1 (Factorisation Method): Step 1: तीनों बहुपदों का अलग-अलग गुणनखंड करें: - पहला बहुपद: $x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ - दूसरा बहुपद: $x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x - 2)^3$ - तीसरा बहुपद: $x^3 - 4x^2 + 4x = x(x^2 - 4x + 4) = x(x - 2)^2$ Step 2: तीनों बहुपदों में उभयनिष्ठ गुणनखंड (HCF) निकालें: $$\text{HCF} = (x - 2)^1 = (x - 2)$$ अतः सही विकल्प (a) (x - 2) है। Method 2 (Root Testing Method): $x = 2$ रखने पर तीनों व्यंजक शून्य हो जाते हैं: - $2^3 - 8 = 0$ - $8 - 24 + 24 - 8 = 0$ - $8 - 16 + 8 = 0$ अतः $(x - 2)$ सभी का एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है। अतः सही उत्तर (a) है।
19. If the HCF of xy^3, x^2y and x^3y^4 is xy, then their LCM is _____.
    यदि xy^3, x^2y और x^3y^4 का HCF xy है, तो उनका LCM _____ है।
    (A) (a) x^3y^4

    (B) (b) x^2y^3

    (C) (c) x^3y^3

    (D) (d) x^2y^4
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: A) (a) x^3y^4

    Explanation: Method 1 (Highest Power Rule Method): Step 1: पदों को अलग-अलग लिखें: $xy^3$, $x^2y^1$, $x^3y^4$. Step 2: LCM ज्ञात करने के लिए प्रत्येक चर की उच्चतम घात (Highest Power) ली जाती है: - $x$ की उच्चतम घात = $\max(1, 2, 3) = 3 \implies x^3$ - $y$ की उच्चतम घात = $\max(3, 1, 4) = 4 \implies y^4$ Step 3: $\text{LCM} = x^3 y^4$. अतः सही विकल्प (a) x^3y^4 है। Method 2 (Concept Verification): LCM वह न्यूनतम पद है जो $xy^3$, $x^2y$ और $x^3y^4$ तीनों से पूर्णतः विभाज्य हो। $x^3y^4$ तीनों से विभाज्य है। अतः सही उत्तर (a) है।

Frequently Asked Questions