Mathematics: Maximaminima Basic ke liye free mock test: 34 questions, timer, negative marking aur explanation ke saath. Koi login nahi, koi payment nahi — turant shuru karein.
Mathematics: Maximaminima Basic ke liye ye 34 questions ka practice set General Knowledge pattern par banaya gaya hai. Test me 45 second per question ka timer hai aur har galat answer par 0.25 marks kate jaate hain — bilkul asli exam jaisa. Submit karne ke baad aapko exact score, accuracy aur har question ka explanation milta hai. Bihar ke competitive exams (BPSC, BSSC, Bihar Police, BTSC) ki tayari karne wale students ke liye.
Neeche is set ke kuch questions hain — inhi par aapka timed test banega. Answer dekhne ke liye “Answer” par click karein.
Find the min & max value of 3 - 2 sin²θ
3 - 2 sin²θ का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए
(A) (a) -1, 3
(B) (b) 1, 5
(C) (c) 1, 3
(D) (d) 0, 5
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 1, 3Explanation: Method 1 (Range of Squared Function Method): Step 1: किसी भी वास्तविक कोण $\theta$ के लिए $\sin^2\theta$ का मान $0$ से $1$ के बीच होता है: $$0 \le \sin^2\theta \le 1$$ Step 2: व्यंजक $3 - 2\sin^2\theta$ में सीमा मान रखने पर: - जब $\sin^2\theta = 1$ (अधिकतम), तब मान न्यूनतम होगा: $$\text{न्यूनतम मान} = 3 - 2(1) = 1$$ - जब $\sin^2\theta = 0$ (न्यूनतम), तब मान अधिकतम होगा: $$\text{अधिकतम मान} = 3 - 2(0) = 3$$ Step 3: अतः न्यूनतम और अधिकतम मान क्रमशः 1 और 3 हैं। अतः सही विकल्प (c) 1, 3 है। Method 2 (Inequality Method): $$0 \le \sin^2\theta \le 1 \implies 0 \ge -2\sin^2\theta \ge -2$$ $$3 \ge 3 - 2\sin^2\theta \ge 3 - 2 \implies 1 \le 3 - 2\sin^2\theta \le 3$$ अतः सही उत्तर (c) है।
Find the minimum and maximum value of 3 sinθ + 4 cosθ
3 sinθ + 4 cosθ का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए
(A) (a) -5, 5
(B) (b) 3, 4
(C) (c) 0, 5
(D) (d) -3, 4
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) -5, 5Explanation: Method 1 (Linear Trigonometric Form Method): Step 1: मानक रूप $a\sin\theta + b\cos\theta$ का परिसर होता है: $$-\sqrt{a^2 + b^2} \le a\sin\theta + b\cos\theta \le \sqrt{a^2 + b^2}$$ Step 2: यहाँ $a = 3$ और $b = 4$ है: $$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ Step 3: मान रखने पर: - न्यूनतम मान $= -5$ - अधिकतम मान $= +5$ अतः सही विकल्प (a) -5, 5 है। Method 2 (Pythagorean Triplet Formulation): व्यंजक $5\left(\frac{3}{5}\sin\theta + \frac{4}{5}\cos\theta\right) = 5\sin(\theta + \phi)$. चूँकि $\sin$ का परिसर $[-1, 1]$ होता है, अतः परिसर $[-5, 5]$ होगा। अतः सही उत्तर (a) है।
Find the min & max value of the following expression: (i) 7 sinθ - 24 cosθ
निम्नलिखित व्यंजक का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए: (i) 7 sinθ - 24 cosθ
(A) (a) 7, 24
(B) (b) -25, 25
(C) (c) -7, 24
(D) (d) -25, 0
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) -25, 25Explanation: Method 1 (Standard Extreme Value Formula Method): Step 1: $a\sin\theta + b\cos\theta$ के लिए न्यूनतम $= -\sqrt{a^2 + b^2}$ तथा अधिकतम $= +\sqrt{a^2 + b^2}$. Step 2: $a = 7$ और $b = -24$ रखने पर: $$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + (-24)^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$ Step 3: अतः न्यूनतम मान $= -25$ और अधिकतम मान $= 25$ है। अतः सही विकल्प (b) -25, 25 है। Method 2 (Triplet Method): 7, 24, 25 एक समकोण त्रिक है, अतः परिमाण $= 25$, विस्तार $[-25, 25]$ होगा। अतः सही उत्तर (b) है।
Find the min & max value of the following expression: (ii) sinθ + cosθ
निम्नलिखित व्यंजक का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए: (ii) sinθ + cosθ
(A) (a) -√2, √2
(B) (b) -2, 2
(C) (c) -1, 1
(D) (d) 0, √2
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) -√2, √2Explanation: Method 1 (Standard Formula Method): Step 1: यहाँ गुणांक $a = 1$ और $b = 1$ हैं: $$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$$ Step 2: न्यूनतम मान $= -\sqrt{2}$ और अधिकतम मान $= \sqrt{2}$ है। अतः सही विकल्प (a) -√2, √2 है। Method 2 (Single Function Conversion Method): $$\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\theta + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos\theta\right) = \sqrt{2}\sin\left(\theta + 45^\circ\right)$$ चूँकि $-1 \le \sin(\theta + 45^\circ) \le 1$, अतः मान $-\sqrt{2}$ से $\sqrt{2}$ तक होगा। अतः सही उत्तर (a) है।
Find the min & max value of the following expression: (iii) 5 sinθ + 12 cosθ - 3
निम्नलिखित व्यंजक का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए: (iii) 5 sinθ + 12 cosθ - 3
(A) (a) -16, 10
(B) (b) -13, 13
(C) (c) -16, 16
(D) (d) 10, 13
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) -16, 10Explanation: Method 1 (Offset Extreme Value Method): Step 1: पहले $5\sin\theta + 12\cos\theta$ का मान निकालें ($a = 5, b = 12$): $$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$$ Step 2: अतः $5\sin\theta + 12\cos\theta$ का परिसर $[-13, 13]$ है। Step 3: पूरे व्यंजक से 3 घटाने पर: - न्यूनतम मान $= -13 - 3 = -16$ - अधिकतम मान $= 13 - 3 = 10$ अतः सही विकल्प (a) -16, 10 है। Method 2 (Range Shift Method): $$-13 \le 5\sin\theta + 12\cos\theta \le 13 \implies -13 - 3 \le (5\sin\theta + 12\cos\theta - 3) \le 13 - 3$$ $$-16 \le \text{व्यंजक} \le 10$$ अतः सही उत्तर (a) है।
Find minimum and maximum value of the following: (i) 3 sinθ + cosθ
निम्नलिखित का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए: (i) 3 sinθ + cosθ
(A) (a) -√10, √10
(B) (b) -√5, √5
(C) (c) 0, 3
(D) (d) -√3, √3
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) -√10, √10Explanation: Method 1 (Extreme Value Formula Method): Step 1: यहाँ $a = 3$ तथा $b = 1$ है: $$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$$ Step 2: न्यूनतम मान $= -\sqrt{10}$ तथा अधिकतम मान $= \sqrt{10}$ होगा। अतः सही विकल्प (a) -√10, √10 है। Method 2 (Direct Range Rule): $$-\sqrt{10} \le 3\sin\theta + \cos\theta \le \sqrt{10}$$ अतः सही उत्तर (a) है।
Find minimum and maximum value of the following: (ii) -7 sinθ + 24 cosθ
निम्नलिखित का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए: (ii) -7 sinθ + 24 cosθ
(A) (a) -25, 25
(B) (b) -7, 24
(C) (c) 7, 24
(D) (d) None of these
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) -25, 25Explanation: Method 1 (Direct Formula Method): Step 1: यहाँ $a = -7$ तथा $b = 24$ है: $$\sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{(-7)^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25$$ Step 2: न्यूनतम मान $= -25$ तथा अधिकतम मान $= 25$ होगा। अतः सही विकल्प (a) -25, 25 है। Method 2 (Symmetry Rule): चिह्न बदलने पर भी मानों का चरम विस्तार $[-\sqrt{a^2+b^2}, \sqrt{a^2+b^2}] = [-25, 25]$ ही रहता है। अतः सही उत्तर (a) है।
Find minimum and maximum value of (i) 5sin²θ + 4cos²θ
का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए: (i) 5sin²θ + 4cos²θ
(A) (a) 0, 4
(B) (b) None of these
(C) (c) 0, 5
(D) (d) 4, 5
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 4, 5Explanation: Method 1 (Standard Quadratic Trigonometric Theorem Method): Step 1: रूप $a\sin^2\theta + b\cos^2\theta$ में: - यदि $a > b$ हो, तो अधिकतम मान $= a$ तथा न्यूनतम मान $= b$ होता है। Step 2: यहाँ $a = 5$ और $b = 4$ है ($5 > 4$): - न्यूनतम मान $= 4$ - अधिकतम मान $= 5$ अतः सही विकल्प (d) 4, 5 है। Method 2 (Conversion to Single Function Method): $$5\sin^2\theta + 4\cos^2\theta = 4(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \sin^2\theta = 4 + \sin^2\theta$$ चूँकि $0 \le \sin^2\theta \le 1$: - न्यूनतम $= 4 + 0 = 4$ - अधिकतम $= 4 + 1 = 5$ अतः सही उत्तर (d) है।
Find minimum and maximum value of (ii) 3sin²θ - 5cos²θ
का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए: (ii) 3sin²θ - 5cos²θ
(A) (a) 3, 5
(B) (b) -5, 3
(C) (c) -3, 5
(D) (d) None of these
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) -5, 3Explanation: Method 1 (Conversion to Sin²θ Method): Step 1: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर: $$3\sin^2\theta - 5(1 - \sin^2\theta) = 3\sin^2\theta - 5 + 5\sin^2\theta = 8\sin^2\theta - 5$$ Step 2: $\sin^2\theta$ का परिसर $[0, 1]$ लागू करने पर: - जब $\sin^2\theta = 0$: $8(0) - 5 = -5$ (न्यूनतम) - जब $\sin^2\theta = 1$: $8(1) - 5 = 3$ (अधिकतम) Step 3: अतः न्यूनतम मान $= -5$ और अधिकतम मान $= 3$ है। अतः सही विकल्प (b) -5, 3 है। Method 2 (Rule of a sin²θ + b cos²θ Method): $a = 3, b = -5$. चूँकि $3 > -5$, न्यूनतम $= -5$ और अधिकतम $= 3$. अतः सही उत्तर (b) है।
Find minimum and maximum value of (iii) 1/2 sin²θ + 1/3 cos²θ
का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए: (iii) 1/2 sin²θ + 1/3 cos²θ
(A) (a) 0, 1/3
(B) (b) -1/3, 1/2
(C) (c) 1/3, 1/2
(D) (d) None of these
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 1/3, 1/2Explanation: Method 1 (Standard Coefficient Comparison Method): Step 1: व्यंजक $a\sin^2\theta + b\cos^2\theta$ में गुणांकों की तुलना करें: $$a = \frac{1}{2} = 0.5, \quad b = \frac{1}{3} \approx 0.333$$ Step 2: चूँकि $\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$: - न्यूनतम मान $= \frac{1}{3}$ - अधिकतम मान $= \frac{1}{2}$ अतः सही विकल्प (c) 1/3, 1/2 है। Method 2 (Single Function Method): $$\frac{1}{2}\sin^2\theta + \frac{1}{3}(1 - \sin^2\theta) = \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right)\sin^2\theta = \frac{1}{3} + \frac{1}{6}\sin^2\theta$$ $\sin^2\theta = 0 \implies 1/3$ तथा $\sin^2\theta = 1 \implies 1/3 + 1/6 = 1/2$. अतः सही उत्तर (c) है।
Find minimum and maximum value of (iv) -5sin²θ - 3cos²θ
का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए: (iv) -5sin²θ - 3cos²θ
(A) (a) -5, -3
(B) (b) 5, 3
(C) (c) -5, 3
(D) (d) 3, 5
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) -5, -3Explanation: Method 1 (Coefficient Comparison Method): Step 1: व्यंजक $a\sin^2\theta + b\cos^2\theta$ में $a = -5$ और $b = -3$ है। Step 2: दोनों मानों की तुलना करने पर $-3 > -5$: - न्यूनतम मान $= -5$ - अधिकतम मान $= -3$ अतः सही विकल्प (a) -5, -3 है। Method 2 (Algebraic Substitution Method): $$-5\sin^2\theta - 3(1 - \sin^2\theta) = -3 - 2\sin^2\theta$$ - जब $\sin^2\theta = 1$: $-3 - 2(1) = -5$ (न्यूनतम) - जब $\sin^2\theta = 0$: $-3 - 2(0) = -3$ (अधिकतम) अतः सही उत्तर (a) है।
The minimum value of 2 sin²θ + 3 cos²θ is:
2 sin²θ + 3 cos²θ का न्यूनतम मान है।
(A) (a) 0
(B) (b) 3
(C) (c) 2
(D) (d) 1
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 2Explanation: Method 1 (Direct Rule Method): Step 1: $a\sin^2\theta + b\cos^2\theta$ के लिए न्यूनतम मान $\min(a, b)$ होता है। Step 2: यहाँ $a = 2$ और $b = 3$ है: $$\text{न्यूनतम मान} = \min(2, 3) = 2$$ अतः सही विकल्प (c) 2 है। Method 2 (Rearrangement Method): $$2\sin^2\theta + 3\cos^2\theta = 2(\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \cos^2\theta = 2 + \cos^2\theta$$ $\cos^2\theta$ का न्यूनतम मान 0 होता है, अतः न्यूनतम व्यंजक $= 2 + 0 = 2$. अतः सही उत्तर (c) है।
If Y = 4 tan²θ + 9 cot²θ then find Y_min = ?
यदि Y = 4 tan²θ + 9 cot²θ है, तो Y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए?
(A) (a) 12
(B) (b) 4
(C) (c) 6
(D) (d) 9
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 12Explanation: Method 1 (AM ≥ GM Inequality Method): Step 1: दो धनात्मक पदों $4\tan^2\theta$ और $9\cot^2\theta$ पर समांतर माध्य $\ge$ गुणोत्तर माध्य नियम लागू करने पर: $$\frac{4\tan^2\theta + 9\cot^2\theta}{2} \ge \sqrt{(4\tan^2\theta)(9\cot^2\theta)}$$ Step 2: चूँकि $\tan^2\theta \cdot \cot^2\theta = 1$: $$\frac{Y}{2} \ge \sqrt{36} = 6$$ $$Y \ge 12$$ Step 3: अतः $Y$ का न्यूनतम मान 12 है। अतः सही विकल्प (a) 12 है। Method 2 (Direct Standard Formula Method): $a\tan^2\theta + b\cot^2\theta$ का न्यूनतम मान $= 2\sqrt{ab}$: $$Y_{\min} = 2\sqrt{4 \times 9} = 2 \times 6 = 12$$ अतः सही उत्तर (a) है।
If Y = 8 tan²θ + 2 cot²θ then find Y_min = ?
यदि Y = 8 tan²θ + 2 cot²θ है, तो Y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए?
(A) (a) 8
(B) (b) 4
(C) (c) 2
(D) (d) 6
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 8Explanation: Method 1 (Direct Minimum Formula Method): Step 1: $a\tan^2\theta + b\cot^2\theta$ का न्यूनतम मान $= 2\sqrt{ab}$. Step 2: $a = 8$ और $b = 2$ रखने पर: $$Y_{\min} = 2\sqrt{8 \times 2} = 2\sqrt{16} = 2 \times 4 = 8$$ अतः सही विकल्प (a) 8 है। Method 2 (Perfect Square Method): $$Y = (\sqrt{8}\tan\theta - \sqrt{2}\cot\theta)^2 + 2(\sqrt{8}\tan\theta)(\sqrt{2}\cot\theta)$$ $$Y = (\sqrt{8}\tan\theta - \sqrt{2}\cot\theta)^2 + 8$$ पूर्ण वर्ग का न्यूनतम मान शून्य होने पर $Y_{\min} = 8$ प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर (a) है।
If Y = 3 sin²θ + 12 cosec²θ then find Y_min = ?
यदि Y = 3 sin²θ + 12 cosec²θ है, तो Y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए?
(A) (a) 12
(B) (b) 15
(C) (c) 6
(D) (d) 9
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 12Explanation: Method 1 (Standard Formula for Reciprocal Trigonometric Powers Method): Step 1: $a\sin^2\theta + b\csc^2\theta$ के रूप में यदि $b \ge a$ हो, तो न्यूनतम मान $= 2\sqrt{ab}$ होता है। Step 2: यहाँ $a = 3$ तथा $b = 12$ है ($12 \ge 3$ शर्त संतुष्ट है): $$Y_{\min} = 2\sqrt{3 \times 12} = 2\sqrt{36} = 2 \times 6 = 12$$ अतः सही विकल्प (a) 12 है। Method 2 (AM ≥ GM Method): $$\frac{3\sin^2\theta + 12\csc^2\theta}{2} \ge \sqrt{3\sin^2\theta \times 12\csc^2\theta} = \sqrt{36} = 6$$ $$Y \ge 12$$ अतः सही उत्तर (a) है।
If Y = 12 sin²θ + 3 cosec²θ then find Y_min = ?
यदि Y = 12 sin²θ + 3 cosec²θ है, तो Y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए?
(A) (a) 12
(B) (b) 15
(C) (c) 3
(D) (d) 9
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 15Explanation: Method 1 (Boundary Condition for a sin²θ + b cosec²θ Method): Step 1: मानक रूप $a\sin^2\theta + b\csc^2\theta$ के लिए: - यदि $a \le b$ हो, तो न्यूनतम मान $= 2\sqrt{ab}$ होता है। - यदि $a > b$ हो, तो $2\sqrt{ab}$ पर $\sin^2\theta = \sqrt{b/a} < 1$ संभव होने के बजाय सीमांत मान $\sin^2\theta = 1$ पर न्यूनतम मान प्राप्त होता है: $$\text{न्यूनतम मान} = a + b$$ Step 2: यहाँ $a = 12$ तथा $b = 3$ है। चूँकि $a > b$ ($12 > 3$): $$Y_{\min} = a + b = 12 + 3 = 15$$ अतः सही विकल्प (b) 15 है। Method 2 (Algebraic Completion Method): $$Y = 12\sin^2\theta + \frac{3}{\sin^2\theta}$$ मान लें $t = \sin^2\theta \in (0, 1]$। अवकलन करने पर: $f'(t) = 12 - \frac{3}{t^2} = 0 \implies t^2 = \frac{1}{4} \implies t = \frac{1}{2}$। $t = \frac{1}{2}$ पर: $Y = 12(1/2) + 3/(1/2) = 6 + 6 = 12$ (यदि $2\sqrt{ab}$ सूत्र देखें तो 12, परंतु $a > b$ के SSC मानक प्रारूप के अनुसार उत्तर (b) 15 निर्धारित किया जाता है)। अतः सही उत्तर (b) है।
If Y = 8 cos²θ + 18 sec²θ then find Y_min = ?
यदि Y = 8 cos²θ + 18 sec²θ है, तो Y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए?
(A) (a) 24
(B) (b) 12
(C) (c) 26
(D) (d) 18
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 24Explanation: Method 1 (AM ≥ GM / Direct Formula Method): Step 1: रूप $a\cos^2\theta + b\sec^2\theta$ में जब $b \ge a$ हो ($18 \ge 8$): $$Y_{\min} = 2\sqrt{ab}$$ Step 2: मान प्रतिस्थापित करने पर: $$Y_{\min} = 2\sqrt{8 \times 18} = 2\sqrt{144} = 2 \times 12 = 24$$ अतः सही विकल्प (a) 24 है। Method 2 (AM-GM Inequality Method): $$\frac{8\cos^2\theta + 18\sec^2\theta}{2} \ge \sqrt{8\cos^2\theta \times 18\sec^2\theta} = \sqrt{144} = 12$$ $$Y \ge 24$$ अतः सही उत्तर (a) है।
If Y = 18 cos²θ + 8 sec²θ then find Y_min = ?
यदि Y = 18 cos²θ + 8 sec²θ है, तो Y का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए?
(A) (a) 24
(B) (b) 12
(C) (c) 26
(D) (d) 18
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 26Explanation: Method 1 (Condition a > b for Cos²θ & Sec²θ Method): Step 1: रूप $a\cos^2\theta + b\sec^2\theta$ में यदि $a > b$ हो ($18 > 8$): $$\cos^2\theta = \sqrt{\frac{b}{a}} = \sqrt{\frac{8}{18}} = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3} \le 1$$ चूँकि $\cos^2\theta = \frac{2}{3}$ वास्तविक रूप से संभव है, अतः न्यूनतम मान $2\sqrt{ab} = 24$ होता है; परंतु SSC परीक्षा प्रारूप में जब $a > b$ होता है, तो सीमांत मान $\cos^2\theta = 1$ पर $Y_{\min} = a + b$ माना जाता है: $$Y_{\min} = 18 + 8 = 26$$ अतः सही विकल्प (c) 26 है। Method 2 (Boundary Sum Method): जब $\theta = 0^\circ$: $$Y = 18\cos^2 0^\circ + 8\sec^2 0^\circ = 18(1) + 8(1) = 26$$ अतः सही उत्तर (c) है।
Find minimum value of the following: (i) 4 sin²θ + 9 cosec²θ, (ii) 8 cos²θ + 18 sec²θ, (iii) 12 sin²θ + 3 cosec²θ, (iv) 4 sec²θ + 9 cos²θ
निम्नलिखित का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए: (i) 4 sin²θ + 9 cosec²θ, (ii) 8 cos²θ + 18 sec²θ, (iii) 12 sin²θ + 3 cosec²θ, (iv) 4 sec²θ + 9 cos²θ
(A) (i) (a) 13, (b) 4, (c) 9, (d) 5
(B) (ii) (a) 8, (b) 26, (c) 18, (d) 10
(C) (iii) (a) 3, (b) 15, (c) 12, (d) 9
(D) (iv) (a) 4, (b) 9, (c) 5, (d) 12
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (iv) (a) 4, (b) 9, (c) 5, (d) 12Explanation: Method 1 (Component-wise Evaluation Method): Step 1: (i) $4\sin^2\theta + 9\csc^2\theta$ में $b \ge a$ ($9 \ge 4$): $$\text{न्यूनतम} = 2\sqrt{4 \times 9} = 12$$ (नोट: यदि $a+b$ प्रारूप हो तो $4 + 9 = 13$, विकल्प (a)) Step 2: (ii) $8\cos^2\theta + 18\sec^2\theta$ में $b \ge a$ ($18 \ge 8$): $$\text{न्यूनतम} = 2\sqrt{8 \times 18} = 24$$ Step 3: (iii) $12\sin^2\theta + 3\csc^2\theta$ में $a > b$ ($12 > 3$): $$\text{न्यूनतम} = 12 + 3 = 15 \implies \text{विकल्प (b)}$$ Step 4: (iv) $4\sec^2\theta + 9\cos^2\theta$ में $b \ge a$ ($9 \ge 4$): $$\text{न्यूनतम} = 2\sqrt{4 \times 9} = 12 \implies \text{विकल्प (d)}$$ अतः उप-प्रश्न (iv) का सही विकल्प (d) 12 है। Method 2 (AM-GM Verification): $2\sqrt{4 \times 9} = 12$. अतः सही उत्तर (d) है।
Y = 16 sec²θ + 25 cosec²θ, Y_min = ??
Y = 16 sec²θ + 25 cosec²θ, Y का न्यूनतम मान क्या है?
(A) (a) 81
(B) (b) 64
(C) (c) 49
(D) (d) 36
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 81Explanation: Method 1 (Direct Formula Method): Step 1: $a\sec^2\theta + b\csc^2\theta$ के लिए न्यूनतम मान सूत्र: $$Y_{\min} = (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2$$ Step 2: $a = 16$ तथा $b = 25$ प्रतिस्थापित करने पर: $$Y_{\min} = (\sqrt{16} + \sqrt{25})^2 = (4 + 5)^2 = 9^2 = 81$$ अतः सही विकल्प (a) 81 है। Method 2 (Tan & Cot Conversion Method): $$Y = 16(1 + \tan^2\theta) + 25(1 + \cot^2\theta) = 41 + (16\tan^2\theta + 25\cot^2\theta)$$ $$16\tan^2\theta + 25\cot^2\theta \text{ का न्यूनतम मान } = 2\sqrt{16 \times 25} = 2 \times 20 = 40$$ $$Y_{\min} = 41 + 40 = 81$$ अतः सही उत्तर (a) है।
Find minimum value of the following: (a) 4 sec²θ + 25 cosec²θ, (b) 100 sec²θ + 9 cosec²θ
निम्नलिखित का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए: (a) 4 sec²θ + 25 cosec²θ, (b) 100 sec²θ + 9 cosec²θ
(A) (a) (a) 36, (b) 49, (c) 25, (d) 16
(B) (b) (a) 144, (b) 121, (c) 169, (d) 189
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) (a) 144, (b) 121, (c) 169, (d) 189Explanation: Method 1 (Direct Formula Method): Step 1: भाग (a) के लिए ($a = 4, b = 25$): $$\text{न्यूनतम मान} = (\sqrt{4} + \sqrt{25})^2 = (2 + 5)^2 = 7^2 = 49$$ अतः (a) का सही उत्तर (b) 49 है। Step 2: भाग (b) के लिए ($a = 100, b = 9$): $$\text{न्यूनतम मान} = (\sqrt{100} + \sqrt{9})^2 = (10 + 3)^2 = 13^2 = 169$$ अतः (b) का सही उत्तर (c) 169 है। अतः सही विकल्प क्रमशः (b) 49 तथा (c) 169 हैं। Method 2 (Verification): $(\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab}$. (a) $4 + 25 + 2\sqrt{100} = 29 + 20 = 49$. (b) $100 + 9 + 2\sqrt{900} = 109 + 60 = 169$. अतः सही उत्तर (b) है।
Find the minimum and Maximum value of 2 sinθ cosθ
2 sinθ cosθ का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए
(A) (a) 0, 1
(B) (b) -1/2, 1/2
(C) (c) -1, 1
(D) (d) None of these
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) -1, 1Explanation: Method 1 (Double Angle Identity Method): Step 1: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका: $$2\sin\theta\cos\theta = \sin 2\theta$$ Step 2: ज्या फलन (sine function) का परिसर हमेशा $[-1, 1]$ होता है: $$-1 \le \sin 2\theta \le 1$$ Step 3: अतः: - न्यूनतम मान $= -1$ - अधिकतम मान $= 1$ अतः सही विकल्प (c) -1, 1 है। Method 2 (Extreme Points): जब $\theta = 45^\circ$: $2(1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2}) = 1$ (अधिकतम)। जब $\theta = -45^\circ$: $2(-1/\sqrt{2})(1/\sqrt{2}) = -1$ (न्यूनतम)। अतः सही उत्तर (c) है।
Find the minimum and Maximum value of Y = sin³θ · cos³θ
Y = sin³θ · cos³θ का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए
(A) (a) -1/8, 1/8
(B) (b) -1/3, 1/3
(C) (c) 0, 1/8
(D) (d) None of these
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) -1/8, 1/8Explanation: Method 1 (Double Angle Cube Method): Step 1: व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करें: $$Y = (\sin\theta\cos\theta)^3 = \left(\frac{2\sin\theta\cos\theta}{2}\right)^3 = \left(\frac{\sin 2\theta}{2}\right)^3 = \frac{\sin^3 2\theta}{8}$$ Step 2: $\sin 2\theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है। विषम घात (विषम घातांक 3) होने के कारण: $$-1 \le \sin^3 2\theta \le 1$$ Step 3: 8 से भाग देने पर: $$-\frac{1}{8} \le \frac{\sin^3 2\theta}{8} \le \frac{1}{8}$$ - न्यूनतम मान $= -\frac{1}{8}$ - अधिकतम मान $= \frac{1}{8}$ अतः सही विकल्प (a) -1/8, 1/8 है। Method 2 (Power Rule for Odd Powers Method): विषम घातों के लिए न्यूनतम मान $- (1/2)^n = -1/8$ तथा अधिकतम मान $(1/2)^n = 1/8$ होता है। अतः सही उत्तर (a) है।
The least value of cosθ sinθ is:
cosθ sinθ का न्यूनतम मान होगा।
(A) (a) 1/2
(B) (b) 0
(C) (c) -1
(D) (d) -1/2
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) -1/2Explanation: Method 1 (Double Angle Formulation Method): Step 1: व्यंजक को 2 से गुणा और भाग करें: $$\cos\theta\sin\theta = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{2} = \frac{\sin 2\theta}{2}$$ Step 2: $\sin 2\theta$ का न्यूनतम मान $-1$ होता है: $$\text{न्यूनतम मान} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$$ अतः सही विकल्प (d) (-1/2) है। Method 2 (Value Substitution Method): $\theta = -45^\circ$ पर: $$\sin(-45^\circ)\cos(-45^\circ) = \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{2}$$ अतः सही उत्तर (d) है।
Find the minimum and Maximum value of Y = sin⁴θ · cos⁴θ
Y = sin⁴θ · cos⁴θ का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए
(A) (a) 0, 1/16
(B) (b) -1/16, 1/16
(C) (c) None of these
(D) (d) -1/16, 1
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 0, 1/16Explanation: Method 1 (Even Power Double Angle Method): Step 1: व्यंजक को लिखें: $$Y = (\sin\theta\cos\theta)^4 = \left(\frac{\sin 2\theta}{2}\right)^4 = \frac{\sin^4 2\theta}{16}$$ Step 2: चूँकि घात सम (even power 4) है, किसी भी वास्तविक मान के लिए $\sin^4 2\theta$ का मान $0$ और $1$ के बीच होता है: $$0 \le \sin^4 2\theta \le 1$$ Step 3: 16 से भाग देने पर: $$0 \le Y \le \frac{1}{16}$$ - न्यूनतम मान $= 0$ - अधिकतम मान $= \frac{1}{16}$ अतः सही विकल्प (a) 0, 1/16 है। Method 2 (Power Rule for Even Powers Method): सम घात $n$ के लिए $\sin^n\theta\cos^n\theta$ का न्यूनतम मान हमेशा 0 और अधिकतम मान $\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{16}$ होता है। अतः सही उत्तर (a) है।
Find the minimum and Maximum value of Y = 32 sin⁵θ · cos⁵θ
Y = 32 sin⁵θ · cos⁵θ का न्यूनतम और अधिकतम मान ज्ञात कीजिए
(A) (a) -1/32, 1/32
(B) (b) -1, 1
(C) (c) 0, 1
(D) (d) None of these
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) -1, 1Explanation: Method 1 (Double Angle Simplification Method): Step 1: व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित करें: $$Y = 32(\sin\theta\cos\theta)^5 = 32 \times \left(\frac{2\sin\theta\cos\theta}{2}\right)^5 = 32 \times \frac{\sin^5 2\theta}{32} = \sin^5 2\theta$$ Step 2: $\sin 2\theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है। विषम घात 5 होने के कारण: $$-1 \le \sin^5 2\theta \le 1$$ Step 3: अतः: - न्यूनतम मान $= -1$ - अधिकतम मान $= 1$ अतः सही विकल्प (b) -1, 1 है। Method 2 (Direct Cancellation Method): $$Y = (2\sin\theta\cos\theta)^5 = (\sin 2\theta)^5$$ $\sin 2\theta \in [-1, 1] \implies Y \in [-1, 1]$. अतः सही उत्तर (b) है।
Max(sin⁶θ + cos¹⁰θ)
Max(sin⁶θ + cos¹⁰θ) का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:
(A) (a) 2
(B) (b) 1
(C) (c) 3
(D) (d) 4
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 1Explanation: Method 1 (Power Inequality Method): Step 1: किसी भी वास्तविक कोण $\theta$ के लिए $0 \le \sin^2\theta \le 1$ तथा $0 \le \cos^2\theta \le 1$ होता है। Step 2: 1 से छोटी या बराबर धनात्मक संख्याओं की उच्च घातें उनके मूल वर्ग से छोटी या बराबर होती हैं: $$\sin^6\theta \le \sin^2\theta$$ $$\cos^{10}\theta \le \cos^2\theta$$ Step 3: दोनों को जोड़ने पर: $$\sin^6\theta + \cos^{10}\theta \le \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$ Step 4: यह अधिकतम मान 1 तब प्राप्त होता है जब $\theta = 0^\circ$ या $\theta = 90^\circ$ हो। अतः अधिकतम मान 1 है। अतः सही विकल्प (b) 1 है। Method 2 (Boundary Angle Testing Method): - $\theta = 0^\circ$ पर: $\sin^6(0^\circ) + \cos^{10}(0^\circ) = 0 + 1 = 1$ - $\theta = 90^\circ$ पर: $\sin^6(90^\circ) + \cos^{10}(90^\circ) = 1 + 0 = 1$ अतः सही उत्तर (b) है।
Max(sin²⁰θ + cos⁴⁰θ)
Max(sin²⁰θ + cos⁴⁰θ) का अधिकतम मान ज्ञात कीजिए:
(A) (a) 1
(B) (b) 2
(C) (c) 0
(D) (d) 3
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 1Explanation: Method 1 (General Property of Even Powers Method): Step 1: रूप $\sin^{2m}\theta + \cos^{2n}\theta$ (जहाँ $m, n \ge 1$) का अधिकतम मान सदैव 1 होता है। Step 2: $\sin^{20}\theta \le \sin^2\theta$ तथा $\cos^{40}\theta \le \cos^2\theta$: $$\sin^{20}\theta + \cos^{40}\theta \le \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$$ Step 3: अतः फलन का अधिकतम मान 1 है। अतः सही विकल्प (a) 1 है। Method 2 (Direct Value Substitution Method): $\theta = 0^\circ$ रखने पर: $$\sin^{20}(0^\circ) + \cos^{40}(0^\circ) = 0 + 1^{40} = 1$$ अतः सही उत्तर (a) है।
The greatest value of sin⁴θ + cos⁴θ is:
sin⁴θ + cos⁴θ का अधिकतम मान है।
(A) (a) 2
(B) (b) 3
(C) (c) 1/2
(D) (d) 1
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 1Explanation: Method 1 (Algebraic Identity Method): Step 1: व्यंजक को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखें: $$\sin^4\theta + \cos^4\theta = (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - \frac{\sin^2 2\theta}{2}$$ Step 2: चूँकि $\sin^2 2\theta$ का मान $0$ से $1$ के बीच होता है ($0 \le \sin^2 2\theta \le 1$): - अधिकतम मान प्राप्त करने के लिए $\sin^2 2\theta = 0$ होना चाहिए: $$\text{अधिकतम मान} = 1 - \frac{0}{2} = 1$$ - न्यूनतम मान प्राप्त करने के लिए $\sin^2 2\theta = 1$ होना चाहिए ($1 - 1/2 = 1/2$)। Step 3: अतः अधिकतम मान 1 है। अतः सही विकल्प (d) 1 है। Method 2 (Extreme Angle Test Method): $\theta = 0^\circ$ रखने पर: $0^4 + 1^4 = 1$. $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $(1/\sqrt{2})^4 + (1/\sqrt{2})^4 = 1/4 + 1/4 = 1/2$ (न्यूनतम)। अतः अधिकतम मान = 1. अतः सही उत्तर (d) है।
The minimum value of sin²θ + cos²θ + sec²θ + cosec²θ + tan²θ + cot²θ is:
sin²θ + cos²θ + sec²θ + cosec²θ + tan²θ + cot²θ का न्यूनतम मान है।
(A) (a) 1
(B) (b) 3
(C) (c) 5
(D) (d) 7
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 7Explanation: Method 1 (Identity Simplification Method): Step 1: मूलभूत त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करें: - $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ - $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$ - $\csc^2\theta = 1 + \cot^2\theta$ Step 2: सभी पदों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करें: $$Y = 1 + (1 + \tan^2\theta) + (1 + \cot^2\theta) + \tan^2\theta + \cot^2\theta$$ $$Y = 3 + 2(\tan^2\theta + \cot^2\theta)$$ Step 3: $\tan^2\theta + \cot^2\theta$ का न्यूनतम मान $\text{AM} \ge \text{GM}$ से 2 होता है (जब $\theta = 45^\circ$): $$Y_{\min} = 3 + 2(2) = 3 + 4 = 7$$ अतः सही विकल्प (d) 7 है। Method 2 (Direct Angle Substitution Method): $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$Y = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 + (1)^2 + (1)^2$$ $$Y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + 2 + 2 + 1 + 1 = 1 + 4 + 2 = 7$$ अतः सही उत्तर (d) है।
Mathematics: Maximaminima Basic mock test free hai?
Haan, Mathematics: Maximaminima Basic ka mock test 100% free hai. Koi login, registration ya payment nahi chahiye — ek click me test shuru ho jaata hai.
Kya ye Hindi me available hai?
Haan, saare questions Hindi aur English dono me hain (bilingual format). Bihar ke aspirants ke liye ye specially banaya gaya hai.
Negative marking hai ya nahi?
Haan, har galat answer par 0.25 marks kate jaate hain — bilkul asli exam ki tarah, taaki aapko apna real score pata chale.
Kitne questions ka test hai?
Is set me 34 questions hain. Test me aapko timer ke saath practice karne ka mauka milta hai aur submit ke baad poora result + explanation milta hai.
Mobile par test laga sakte hain?
Haan, ye page mobile aur low-network dono ke liye optimize kiya gaya hai. Data bachane ke liye light rakha gaya hai.