Mathematics: Mensuration2D Basic ke liye free mock test: 69 questions, timer, negative marking aur explanation ke saath. Koi login nahi, koi payment nahi — turant shuru karein.
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The area of a triangular field whose sides are 65m, 72m and 97m is equal to the area of a rectangular park whose sides are in the ratio of 5 : 13. What is the perimeter (in m) of the rectangular park?
एक त्रिभुजाकार खेत का क्षेत्रफल जिसकी भुजाएँ 65m, 72m और 97m हैं, एक आयताकार पार्क के क्षेत्रफल के बराबर है जिसकी भुजाएँ 5 : 13 के अनुपात में हैं। आयताकार पार्क का परिमाप (मीटर में) क्या है?
(A) (a) 108
(B) (b) 180
(C) (c) 216
(D) (d) 144
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 216Explanation: Method 1 (Pythagorean Triplet & Area Equating Method): Step 1: त्रिभुज की भुजाओं की जाँच करें: $$65^2 + 72^2 = 4225 + 5184 = 9409 = 97^2$$ अतः यह एक समकोण त्रिभुज (Right-angled triangle) है। Step 2: त्रिभुजाकार खेत का क्षेत्रफल: $$\text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 65 \times 72 = 2340\text{ वर्ग मीटर}$$ Step 3: आयताकार पार्क की भुजाएँ $5x$ और $13x$ मान लें: $$\text{आयताकार पार्क का क्षेत्रफल} = 5x \times 13x = 65x^2$$ $$65x^2 = 2340 \implies x^2 = \frac{2340}{65} = 36 \implies x = 6$$ Step 4: आयत की विमाएँ निकालें: - लंबाई = $13 \times 6 = 78\text{ मीटर}$ - चौड़ाई = $5 \times 6 = 30\text{ मीटर}$ Step 5: आयताकार पार्क का परिमाप ज्ञात करें: $$\text{परिमाप} = 2(\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई}) = 2(78 + 30) = 2 \times 108 = 216\text{ मीटर}$$ अतः सही विकल्प (c) 216 है। Method 2 (Ratio Formula Method): $$\text{परिमाप} = 2(5 + 13)x = 36x$$ चूँकि $x = \sqrt{2340 / 65} = 6$, अतः $\text{परिमाप} = 36 \times 6 = 216\text{ मीटर}$। अतः सही उत्तर (c) है।
If each side of a rectangle is increased by 22%, then its area will increase by:
यदि एक आयत की प्रत्येक भुजा में 22% की वृद्धि की जाती है, तो उसके क्षेत्रफल में कितनी वृद्धि होगी?
(A) (a) 40%
(B) (b) 50%
(C) (c) 46.65%
(D) (d) 48.84%
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 48.84%Explanation: Method 1 (Successive Percentage Formula Method): Step 1: क्षेत्रफल में प्रतिशत परिवर्तन का सूत्र: $$\text{कुल प्रतिशत वृद्धि} = a + b + \frac{a \times b}{100}$$ Step 2: यहाँ प्रत्येक भुजा में वृद्धि $a = 22\%$ और $b = 22\%$ है: $$\text{वृद्धि} = 22 + 22 + \frac{22 \times 22}{100}$$ $$\text{वृद्धि} = 44 + \frac{484}{100} = 44 + 4.84 = 48.84\%$$ अतः सही विकल्प (d) 48.84% है। Method 2 (Scaling Factor Method): प्रारंभिक क्षेत्रफल = 100 मान लें। नया क्षेत्रफल = $100 \times 1.22 \times 1.22 = 148.84$. वृद्धि = $148.84 - 100 = 48.84\%$. अतः सही उत्तर (d) है।
If each side of a rectangle is decreased by 11%, then its area will decrease by:
यदि एक आयत की प्रत्येक भुजा में 11% की कमी की जाती है, तो उसके क्षेत्रफल में कितनी कमी होगी?
(A) (a) 21.69%
(B) (b) 20.79%
(C) (c) 13.13%
(D) (d) 26.78%
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 20.79%Explanation: Method 1 (Successive Percentage Decrease Method): Step 1: सूत्र: $$\text{क्षेत्रफल में शुद्ध कमी} = -a - b + \frac{a \times b}{100}$$ Step 2: $a = 11$ और $b = 11$ रखने पर: $$\text{कमी} = 11 + 11 - \frac{11 \times 11}{100}$$ $$\text{कमी} = 22 - \frac{121}{100} = 22 - 1.21 = 20.79\%$$ अतः सही विकल्प (b) 20.79% है। Method 2 (Multiplier Method): नया क्षेत्रफल = $100 \times 0.89 \times 0.89 = 79.21$. कमी = $100 - 79.21 = 20.79\%$. अतः सही उत्तर (b) है।
The area of a field in the shape of a triangle with each side x metre is equal to the area of another triangular field having sides 50m, 70m and 80m. The value of x is closest to:
एक त्रिभुज के आकार के एक खेत का क्षेत्रफल जिसकी प्रत्येक भुजा x मीटर है, एक अन्य त्रिभुजाकार खेत के क्षेत्रफल के बराबर है, जिसकी भुजाएँ 50m, 70m और 80m हैं। x का मान निकटतम है:
(A) (a) 65.5
(B) (b) 63.2
(C) (c) 62.4
(D) (d) 61.8
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 63.2Explanation: Method 1 (Heron's Formula & Equilateral Triangle Area Method): Step 1: त्रिभुज (भुजाएँ 50m, 70m, 80m) का अर्ध-परिमाप ($s$) निकालें: $$s = \frac{50 + 70 + 80}{2} = \frac{200}{2} = 100\text{ मीटर}$$ Step 2: हीरोन के सूत्र से क्षेत्रफल: $$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$$ $$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{100(100 - 50)(100 - 70)(100 - 80)} = \sqrt{100 \times 50 \times 30 \times 20}$$ $$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{3000000} = 1000\sqrt{3}\text{ वर्ग मीटर}$$ Step 3: यह समबाहु त्रिभुज (भुजा $x$) के क्षेत्रफल के बराबर है: $$\frac{\sqrt{3}}{4} x^2 = 1000\sqrt{3}$$ $$x^2 = 4000 \implies x = \sqrt{4000} = 20\sqrt{10}$$ Step 4: निकटतम मान निकालें: $$x \approx 20 \times 3.1622 = 63.24\text{ मीटर} \approx 63.2\text{ मीटर}$$ अतः सही विकल्प (b) 63.2 है। Method 2 (Approximation Method): $63^2 = 3969$ और $64^2 = 4096$. 4000 मान $63.2^2 = 3994.24$ के सर्वाधिक निकट है। अतः सही उत्तर (b) है।
The perimeter of a square is equal to the perimeter of a rectangle of length 16cm and breadth 14cm. Find the circumference of a semicircle whose diameter is equal to the side of the square.
एक वर्ग का परिमाप 16 सेमी लंबाई और 14 सेमी चौड़ाई वाले आयत के परिमाप के बराबर है। एक अर्धवृत्त की परिधि ज्ञात कीजिए जिसका व्यास वर्ग की भुजा के बराबर है।
(A) (a) 38.57 cm
(B) (b) 21.57 cm
(C) (c) 23.57 cm
(D) (d) 25.57 cm
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 38.57 cmExplanation: Method 1 (Geometric Perimeter Calculation Method): Step 1: आयत का परिमाप निकालें: $$\text{आयत का परिमाप} = 2(\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई}) = 2(16 + 14) = 2 \times 30 = 60\text{ सेमी}$$ Step 2: वर्ग की भुजा निकालें: $$4 \times \text{भुजा} = 60 \implies \text{भुजा} = 15\text{ सेमी}$$ Step 3: अर्धवृत्त का व्यास $d = 15\text{ सेमी}$, अतः त्रिज्या $r = \frac{15}{2} = 7.5\text{ सेमी}$। Step 4: बंद अर्धवृत्त की कुल परिधि (Perimeter of Semicircle): $$\text{परिधि} = \pi r + d = \left(\frac{22}{7} \times \frac{15}{2}\right) + 15$$ $$\text{परिधि} = \frac{165}{7} + 15 \approx 23.57 + 15 = 38.57\text{ सेमी}$$ अतः सही विकल्प (a) 38.57 cm है। Method 2 (Combined Formula Method): $$\text{परिधि} = r(\pi + 2) = 7.5 \times \left(\frac{22}{7} + 2\right) = 7.5 \times \frac{36}{7} = \frac{270}{7} \approx 38.57\text{ सेमी}$$ अतः सही उत्तर (a) है।
What is the area (in m^2, up to 1 place of decimal) of an equilateral triangular field of side 8.5 m?
8.5 मीटर भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुजाकार क्षेत्र का क्षेत्रफल (m^2 में, दशमलव के 1 स्थान तक) क्या है?
(A) (a) \frac{18.1}{\sqrt{3}}
(B) (b) \frac{72.25}{\sqrt{3}}
(C) (c) 18.1\sqrt{3}
(D) (d) 72.25\sqrt{3}
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 18.1\sqrt{3}Explanation: Method 1 (Equilateral Triangle Area Formula Method): Step 1: समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल: $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$ Step 2: भुजा $a = 8.5\text{ मीटर}$ प्रतिस्थापित करने पर: $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (8.5)^2$$ Step 3: गणना करें: $$(8.5)^2 = 72.25$$ $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{72.25}{4} \times \sqrt{3} = 18.0625\sqrt{3} \approx 18.1\sqrt{3}\text{ m}^2$$ अतः सही विकल्प (c) 18.1√3 है। Method 2 (Decimal Rounding Method): $\frac{72.25}{4} = 18.0625 \approx 18.1$. अतः $\text{क्षेत्रफल} = 18.1\sqrt{3}\text{ m}^2$. अतः सही उत्तर (c) है।
Two sides of triangle are 12.8 m and 9.6 m. If the height of the triangle is 12m, corresponding to 9.6 m. Then what is its height (in m) corresponding to 12.8 m?
एक त्रिभुज की दो भुजाएं 12.8m और 9.6m हैं। यदि त्रिभुज की ऊंचाई 12m है, जो कि 9.6m वाले भुजा के संगत है, तो 12.8m वाले भुजा के संगत ऊंचाई (में) क्या होगी?
(A) (a) 12
(B) (b) 9
(C) (c) 10
(D) (d) 8
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 9Explanation: Method 1 (Equating Area of Triangle Method): Step 1: त्रिभुज का क्षेत्रफल किसी भी आधार और उसकी संगत ऊंचाई के गुणनफल का आधा होता है: $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times b_1 \times h_1 = \frac{1}{2} \times b_2 \times h_2$$ $$b_1 \times h_1 = b_2 \times h_2$$ Step 2: मान प्रतिस्थापित करने पर ($b_1 = 9.6\text{ m}$, $h_1 = 12\text{ m}$, $b_2 = 12.8\text{ m}$): $$9.6 \times 12 = 12.8 \times H$$ Step 3: $H$ का मान निकालें: $$H = \frac{9.6 \times 12}{12.8} = \frac{3 \times 12}{4} = 9\text{ मीटर}$$ अतः सही विकल्प (b) 9 है। Method 2 (Inverse Proportion Method): ऊंचाई आधार के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $$H = 12 \times \frac{9.6}{12.8} = 12 \times \frac{3}{4} = 9\text{ मीटर}$$ अतः सही उत्तर (b) है।
The base of a triangle is increased by 40%. By what percentage (correct to two decimal places) should its height be increased so that the area increases by 60%?
एक त्रिभुज के आधार में 40% की वृद्धि की गई। इसकी ऊंचाई कितने प्रतिशत (दशमलव के दो स्थानों तक सही) बढ़ाई जानी चाहिए ताकि क्षेत्रफल में 60% की वृद्धि हो जाए?
(A) (a) 14.29%
(B) (b) 20.01%
(C) (c) 15.54%
(D) (d) 18.62%
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 14.29%Explanation: Method 1 (Ratio Multiplier Method): Step 1: त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}$ $\implies \text{ऊंचाई} \propto \frac{\text{क्षेत्रफल}}{\text{आधार}}$ Step 2: अनुपाती मान निकालें: - आधार: $100 \to 140 \implies 5 : 7$ - क्षेत्रफल: $100 \to 160 \implies 5 : 8$ Step 3: ऊंचाई का अनुपात निकालें: $$\text{ऊंचाई का अनुपात} = \frac{5}{5} : \frac{8}{7} = 1 : \frac{8}{7} = 7 : 8$$ Step 4: ऊंचाई में प्रतिशत वृद्धि निकालें: $$\text{प्रतिशत वृद्धि} = \frac{8 - 7}{7} \times 100 = \frac{1}{7} \times 100 = 14.2857\% \approx 14.29\%$$ अतः सही विकल्प (a) 14.29% है। Method 2 (Successive Percentage Formula Method): $$40 + h + \frac{40h}{100} = 60 \implies 1.4h = 20 \implies h = \frac{20}{1.4} = \frac{100}{7} \approx 14.29\%$$ अतः सही उत्तर (a) है।
The sides of a triangle are in the ratio 1/3 : 1/5 : 1/4 and its perimeter is 141 cm. The difference between the greatest side and the smallest side is:
किसी त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात 1/3 : 1/5 : 1/4 है और इसका परिमाप 141 cm है। इसकी सबसे बड़ी भुजा की लंबाई और सबसे छोटी भुजा की लंबाई के बीच अंतर ज्ञात करें।
(A) (a) 18 cm
(B) (b) 15 cm
(C) (c) 12 cm
(D) (d) 24 cm
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 24 cmExplanation: Method 1 (Ratio Normalization Method): Step 1: हरों (3, 5, 4) का LCM = 60 से गुणा करके पूर्णांक अनुपात निकालें: $$\left(\frac{1}{3} \times 60\right) : \left(\frac{1}{5} \times 60\right) : \left(\frac{1}{4} \times 60\right) = 20 : 12 : 15$$ Step 2: परिमाप का अनुपाती योग نکالें: $$\text{कुल इकाइयाँ} = 20 + 12 + 15 = 47\text{ इकाइयाँ}$$ Step 3: 47 इकाइयाँ = 141 सेमी: $$1\text{ इकाई} = \frac{141}{47} = 3\text{ सेमी}$$ Step 4: सबसे बड़ी भुजा (20) और सबसे छोटी भुजा (12) का अंतर نکالें: $$\text{अंतर} = 20 - 12 = 8\text{ इकाइयाँ}$$ $$\text{अंतर} = 8 \times 3 = 24\text{ सेमी}$$ अतः सही विकल्प (d) 24 cm है। Method 2 (Direct Proportion Method): $$\text{अंतर} = \frac{20 - 12}{47} \times 141 = \frac{8}{47} \times 141 = 8 \times 3 = 24\text{ सेमी}$$ अतः सही उत्तर (d) है।
If the angles of a triangle are 30° and 45° and the included side is (√108 + 6)cm, then what is the area of the triangle?
यदि किसी त्रिभुज के कोण 30° और 45° हैं और उसकी सम्मिलित भुजा (√108 + 6) सेमी है, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल क्या है?
(A) (a) 18(√3 + 1) cm^2
(B) (b) (15√3 + 18) cm^2
(C) (c) 12(√3 + 1) cm^2
(D) (d) 24(√3 + 1) cm^2
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 18(√3 + 1) cm^2Explanation: Method 1 (Trigonometric Altitude Method): Step 1: सम्मिलित भुजा $BC = \sqrt{108} + 6 = 6\sqrt{3} + 6 = 6(\sqrt{3} + 1)\text{ सेमी}$ मान लें। शीर्ष $A$ से $BC$ पर लम्ब $AD = h$ डालें। Step 2: दोनों समकोण त्रिभुजों से आधार के भाग निकालें: - $\Delta ABD$ में ($∠B = 30^\circ$): $BD = h \cot 30^\circ = h\sqrt{3}$ - $\Delta ACD$ में ($∠C = 45^\circ$): $CD = h \cot 45^\circ = h(1) = h$ Step 3: आधार $BC = BD + CD$: $$h\sqrt{3} + h = 6(\sqrt{3} + 1)$$ $$h(\sqrt{3} + 1) = 6(\sqrt{3} + 1) \implies h = 6\text{ सेमी}$$ Step 4: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें: $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 6(\sqrt{3} + 1) \times 6 = 18(\sqrt{3} + 1)\text{ cm}^2$$ अतः सही विकल्प (a) 18(√3 + 1) cm^2 है। Method 2 (Sine Rule Formulation): $\text{क्षेत्रफल} = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2 \sin(B + C)} = \frac{[6(\sqrt{3}+1)]^2 \times (1/2) \times (1/\sqrt{2})}{2 \times \sin 75^\circ}$. चूँकि $\sin 75^\circ = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$, मान रखने पर: $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{36(\sqrt{3}+1)^2 \times \frac{1}{2\sqrt{2}}}{2 \times \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}} = 18(\sqrt{3} + 1)\text{ cm}^2$$ अतः सही उत्तर (a) है।
Three sides of a triangle are √(a^2 + b^2), √((2a)^2 + b^2) and √(a^2 + (2b)^2) units. What is the area (in unit squares) of triangle?
एक त्रिभुज की तीन भुजाएं √(a^2 + b^2), √((2a)^2 + b^2) और √(a^2 + (2b)^2) इकाई हैं। त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) कितना होगा?
(A) (a) 5/2 ab
(B) (b) 3ab
(C) (c) 4ab
(D) (d) 3/2 ab
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 3/2 abExplanation: Method 1 (Value Substitution Method): Step 1: गणना को सरल करने के लिए $a = 1$ तथा $b = 1$ मान लें। त्रिभुज की तीनों भुजाएँ होंगी: - पहली भुजा = $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ - दूसरी भुजा = $\sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$ - तीसरी भुजा = $\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$ Step 2: चूँकि दो भुजाएँ समान ($√5, \sqrt{5}$) हैं, अतः यह एक समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles triangle) है जिसका असमान आधार $\sqrt{2}$ है। शीर्ष से आधार पर डाला गया लम्ब आधार को दो बराबर भागों (प्रत्येक $\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$) में विभाजित करता है। Step 3: समकोण त्रिभुज से ऊंचाई ($h$) निकालें: $$h = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2} = \sqrt{5 - \frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$$ Step 4: त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें: $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2}$$ Step 5: $a = 1, b = 1$ विकल्पों में रखने पर केवल विकल्प (d) से $\frac{3}{2}(1)(1) = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प (d) 3/2 ab है। Method 2 (Coordinate Geometry Formulation): शीर्ष $(0,0), (a, 2b), (2a, b)$ लेकर सारणिक विधि से क्षेत्रफल निकालने पर: $\frac{1}{2} |0(2b - b) + a(b - 0) + 2a(0 - 2b)| = \frac{3}{2}ab$. अतः सही उत्तर (d) है।
The area of an equilateral triangle is 10.24√3 m^2. Its perimeter (in m) is:
किसी समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल 10.24√3 m^2 है। इसका परिमाप (मीटर में) ज्ञात करें।
(A) (a) 3.2
(B) (b) 9.6
(C) (c) 6.4
(D) (d) 19.2
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 19.2Explanation: Method 1 (Equilateral Triangle Formula Method): Step 1: समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल: $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$$ Step 2: दिए गए क्षेत्रफल के बराबर रखने पर: $$\frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = 10.24\sqrt{3}$$ $$a^2 = 10.24 \times 4 = 40.96$$ Step 3: वर्गमूल लेने पर भुजा ($a$) निकालें: $$a = \sqrt{40.96} = 6.4\text{ मीटर}$$ Step 4: समबाहु त्रिभुज का परिमाप निकालें: $$\text{परिमाप} = 3a = 3 \times 6.4 = 19.2\text{ मीटर}$$ अतः सही विकल्प (d) 19.2 है। Method 2 (Direct Step Calculation): $$a = \sqrt{4 \times 10.24} = 2 \times 3.2 = 6.4$$ $$\text{परिमाप} = 3 \times 6.4 = 19.2\text{ मीटर}$$ अतः सही उत्तर (d) है।
From an interior point of an equilateral triangle, perpendiculars are drawn on all three sides. The sum of the lengths of the three perpendiculars is s. Then the area of the triangle is:
एक समबाहु त्रिभुज के एक आंतरिक बिंदु से, तीनों भुजाओं पर लम्ब खींचे जाते हैं। तीन लम्बों की लंबाई का योग s है। फिर त्रिभुज का क्षेत्रफल है:
(A) (a) \frac{s^2}{\sqrt{3}}
(B) (b) \frac{2s^2}{\sqrt{3}}
(C) (c) \frac{s^2}{2\sqrt{3}}
(D) (d) \frac{\sqrt{3}s^2}{2}
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) \frac{s^2}{\sqrt{3}}Explanation: Method 1 (Viviani's Theorem Method): Step 1: विवियानी प्रमेय (Viviani's Theorem) के अनुसार, समबाहु त्रिभुज के अंदर किसी भी बिंदु से तीनों भुजाओं पर डाले गए लम्बों का योग ($p_1 + p_2 + p_3 = s$) त्रिभुज की कुल ऊंचाई ($h$) के बराबर होता है: $$h = s$$ Step 2: समबाहु त्रिभुज की ऊंचाई और भुजा ($a$) का संबंध: $$h = \frac{\sqrt{3}}{2} a \implies s = \frac{\sqrt{3}}{2} a \implies a = \frac{2s}{\sqrt{3}}$$ Step 3: समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें: $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left(\frac{2s}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{4s^2}{3} = \frac{s^2}{\sqrt{3}}$$ अतः सही विकल्प (a) s^2 / √3 है। Method 2 (Height Area Formula Method): समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल ऊंचाई के पदों में: $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{h^2}{\sqrt{3}}$$ चूँकि $h = s$, अतः $\text{क्षेत्रफल} = \frac{s^2}{\sqrt{3}}$। अतः सही उत्तर (a) है।
In the fig. given below ABC is a right-angled triangle where ∠A=90°, AB=p cm and AC=q cm. On the three sides as diameters semicircles are drawn as shown in the fig. The area of the shaded portion, in sq.cm is:
दिए गए चित्र में ABC एक समकोण त्रिभुज है जहां ∠A = 90°, AB = p cm और AC = q cm तीनों भुजाओं को विकर्ण (व्यास) पर अर्धवृत्त खींचा जाता है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात करें?
(A) (a) 1
(B) (b) \frac{1}{2} pq
(C) (c) \frac{2}{3} pq
(D) (d) \frac{5}{3}
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) \frac{1}{2} pqExplanation: Method 1 (Lunes of Hippocrates Theorem Method): Step 1: हिप्पोक्रेट्स के ल्यून प्रमेय (Theorem of the Lunes of Hippocrates) के अनुसार, किसी समकोण त्रिभुज की दोनों लम्बवत भुजाओं को व्यास मानकर बनाए गए अर्धवृत्तों द्वारा कर्ण पर बने अर्धवृत्त के बाहर परिबद्ध दोनों छायांकित अर्धचंद्राकार भागों (lunes) का कुल क्षेत्रफल मूल समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल के ठीक बराबर होता है। Step 2: समकोण त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल निकालें: $$\text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} pq$$ Step 3: छायांकित भाग का क्षेत्रफल: $$\text{छायांकित क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} pq\text{ वर्ग सेमी}$$ अतः सही विकल्प (b) 1/2 pq है। Method 2 (Area Addition and Subtraction Method): - कर्ण $BC = \sqrt{p^2 + q^2}$ - दोनों छोटे अर्धवृत्तों का क्षेत्रफल = $\frac{\pi}{8} p^2 + \frac{\pi}{8} q^2 = \frac{\pi}{8}(p^2 + q^2)$ - बड़े अर्धवृत्त का क्षेत्रफल = $\frac{\pi}{8} BC^2 = \frac{\pi}{8}(p^2 + q^2)$ $$\text{छायांकित भाग} = \text{दोनों छोटे अर्धवृत्त} + \text{त्रिभुज ABC} - \text{बड़ा अर्धवृत्त} = \text{त्रिभुज ABC} = \frac{1}{2} pq$$ अतः सही उत्तर (b) है।
In a triangle ABC, AB = AC and the perimeter of triangle 544 cm, If equal sides are 5/6 of the non-equal side, then find the area of triangle?
एक त्रिभुज ABC में, AB = AC और त्रिभुज का परिमाप 544 सेमी है, यदि समान भुजाएँ असमान भुजा की 5/6 हैं, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए?
(A) (a) 13872 cm^2
(B) (b) 12480 cm^2
(C) (c) 14256 cm^2
(D) (d) 11520 cm^2
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 13872 cm^2Explanation: Method 1 (Isosceles Altitude and Area Method): Step 1: असमान भुजा $BC = b$ मान लें। समान भुजाएँ $AB = AC = \frac{5}{6}b$ होंगी। Step 2: त्रिभुज का परिमाप 544 सेमी है: $$AB + AC + BC = 544$$ $$\frac{5}{6}b + \frac{5}{6}b + b = 544 \implies \frac{16}{6}b = 544 \implies \frac{8}{3}b = 544$$ $$b = \frac{544 \times 3}{8} = 68 \times 3 = 204\text{ सेमी}$$ Step 3: समान भुजाओं का मान निकालें: $$AB = AC = \frac{5}{6} \times 204 = 170\text{ सेमी}$$ Step 4: शीर्ष A से आधार BC पर लम्ब डालने पर आधार समद्विभाजित होता है (अर्ध-आधार = $204 / 2 = 102\text{ सेमी}$): त्रिभुज की ऊंचाई ($h$): $$h = \sqrt{170^2 - 102^2} = \sqrt{(170 - 102)(170 + 102)} = \sqrt{68 \times 272} = \sqrt{68 \times (68 \times 4)} = 68 \times 2 = 136\text{ सेमी}$$ Step 5: त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें: $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 204 \times 136 = 102 \times 136 = 13872\text{ वर्ग सेमी}$$ अतः सही विकल्प (a) 13872 cm^2 है। Method 2 (Triplet Scaling Method): भुजाओं का अनुपात $170 : 102 = 5 : 3$ है, जो $3 : 4 : 5$ समकोण त्रिक बनाता है। ऊंचाई = $34 \times 4 = 136$ सेमी। क्षेत्रफल = $102 \times 136 = 13872\text{ cm}^2$। अतः सही उत्तर (a) है।
The length and breadth of a rectangle are in the ratio 3 : 2. If its perimeter is 730cm, what is the area of the rectangle?
एक आयत की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 3 : 2 है। यदि इसका परिमाप 730 cm है, तो आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
(A) (a) 31,974 cm^2
(B) (b) 24,452 cm^2
(C) (c) 20,567 cm^2
(D) (d) 28,976 cm^2
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 31,974 cm^2Explanation: Method 1 (Perimeter to Area Method): Step 1: मान लें लंबाई = $3x$ तथा चौड़ाई = $2x$ सेमी। Step 2: परिमाप का समीकरण बनाएं: $$\text{परिमाप} = 2(\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई}) = 2(3x + 2x) = 10x$$ $$10x = 730 \implies x = 73$$ Step 3: विमाएँ निकालें: - लंबाई = $3 \times 73 = 219\text{ सेमी}$ - चौड़ाई = $2 \times 73 = 146\text{ सेमी}$ Step 4: आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें: $$\text{क्षेत्रफल} = 3x \times 2x = 6x^2 = 6 \times (73)^2$$ $$73^2 = 5329$$ $$\text{क्षेत्रफल} = 6 \times 5329 = 31974\text{ वर्ग सेमी}$$ अतः सही विकल्प (a) 31,974 cm^2 है। Method 2 (Unit Digit Method): $\text{क्षेत्रफल} = 219 \times 146$. इकाई अंक $9 \times 6 = 54$ (इकाई अंक 4) होगा। विकल्पों में केवल 31974 का इकाई अंक 4 है। अतः सही उत्तर (a) है।
The area of a square shaped field is 1764 m^2. The breadth of a rectangular park is 1/6th of the side of the square field and the length is four times its breadth. What is the cost (in ₹) of levelling the park at 30 per m^2?
एक वर्गाकार आकार वाले मैदान का क्षेत्रफल 1764 m^2 है। एक आयताकार पार्क की चौड़ाई, वर्गाकार मैदान की भुजा का 1/6 है और उसकी लंबाई, इसकी चौड़ाई का चार गुना है। 30 प्रति m^2 की दर से पार्क को समतल करने की लागत (₹ में) ज्ञात करें।
(A) (a) 5880
(B) (b) 4768
(C) (c) 2940
(D) (d) 6342
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 5880Explanation: Method 1 (Geometric Area & Cost Method): Step 1: वर्गाकार मैदान की भुजा निकालें: $$\text{वर्गाकार मैदान का क्षेत्रफल} = a^2 = 1764$$ $$a = \sqrt{1764} = 42\text{ मीटर}$$ Step 2: आयताकार पार्क की चौड़ाई ($b$) निकालें: $$b = \frac{1}{6} \times 42 = 7\text{ मीटर}$$ Step 3: आयताकार पार्क की लंबाई ($l$) निकालें: $$l = 4 \times b = 4 \times 7 = 28\text{ मीटर}$$ Step 4: आयताकार पार्क का क्षेत्रफल نکالें: $$\text{पार्क का क्षेत्रफल} = l \times b = 28 \times 7 = 196\text{ वर्ग मीटर}$$ Step 5: ₹30 प्रति वर्ग मीटर की दर से समतल करने की कुल लागत: $$\text{कुल लागत} = 196 \times 30 = ₹5880$$ अतः सही विकल्प (a) 5880 है। Method 2 (Direct Step Calculation): $$\text{लागत} = (4 \times 7) \times 7 \times 30 = 28 \times 210 = ₹5880$$ अतः सही उत्तर (a) है।
The cost of tilling the floor of a rectangular room is 9100 at 65 per m^2. The ratio of the length and breadth of the floor is 7 : 5. The perimeter (in m) of the floor of the room is :
65 प्रति m^2 की दर से, किसी आयताकार कमरे की फर्श पर टाइल्स लगाने की लागत 9,100 है। कमरे की लंबाई और चौड़ाई का अनुपात 7 : 5 है। कमरे के फर्श का परिमाप (मीटर में) ज्ञात करें।
(A) (a) 48
(B) (b) 24
(C) (c) 36
(D) (d) 28.8
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 48Explanation: Method 1 (Rate to Dimensions Method): Step 1: फर्श का कुल क्षेत्रफल निकालें: $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\text{कुल लागत}}{\text{प्रति वर्ग मीटर दर}} = \frac{9100}{65} = 140\text{ वर्ग मीटर}$$ Step 2: लंबाई और चौड़ाई का अनुपात $7 : 5$ है। मान लें लंबाई = $7x$ और चौड़ाई = $5x$: $$\text{क्षेत्रफल} = 7x \times 5x = 35x^2$$ $$35x^2 = 140 \implies x^2 = \frac{140}{35} = 4 \implies x = 2$$ Step 3: कमरे के फर्श की विमाएँ निकालें: - लंबाई = $7 \times 2 = 14\text{ मीटर}$ - चौड़ाई = $5 \times 2 = 10\text{ मीटर}$ Step 4: फर्श का परिमाप ज्ञात करें: $$\text{परिमाप} = 2(\text{लंबाई} + \text{चौड़ाई}) = 2(14 + 10) = 2 \times 24 = 48\text{ मीटर}$$ अतः सही विकल्प (a) 48 है। Method 2 (Ratio Perimeter Multiplier Method): $$\text{परिमाप} = 2(7 + 5)x = 24x$$ चूँकि $x = \sqrt{140 / 35} = 2$, अतः $\text{परिमाप} = 24 \times 2 = 48\text{ मीटर}$। अतः सही उत्तर (a) है।
The perimeter and the area of a rectangular sheet are 42 m and 108 m², respectively. The length of the diagonal is
एक आयताकार शीट का परिमाप और क्षेत्रफल क्रमशः 42 m और 108 m² है। विकर्ण की लंबाई है:
(A) (a) 15 m
(B) (b) 10 m
(C) (c) 14 m
(D) (d) 12 m
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 15 mExplanation: Method 1 (Factor Pair & Pythagorean Triplet Method): Step 1: परिमाप $2(L + B) = 42 \implies L + B = 21\text{ m}$. Step 2: क्षेत्रफल $L \times B = 108\text{ m}^2$. Step 3: 108 के ऐसे दो गुणनखंड जिनका योग 21 हो: $$12 \times 9 = 108 \quad \text{तथा} \quad 12 + 9 = 21$$ अतः लंबाई $L = 12\text{ m}$ तथा चौड़ाई $B = 9\text{ m}$ है। Step 4: विकर्ण की लंबाई निकालें: $$\text{विकर्ण} = \sqrt{L^2 + B^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\text{ m}$$ अतः सही विकल्प (a) 15 m है। Method 2 (Algebraic Identity Method): $$\text{विकर्ण}^2 = L^2 + B^2 = (L + B)^2 - 2LB = 21^2 - 2(108) = 441 - 216 = 225$$ $$\text{विकर्ण} = \sqrt{225} = 15\text{ m}$$ अतः सही उत्तर (a) है।
If the perimeter of a rectangle is 25 cm and the area is 25 cm², then its length is:
यदि एक आयत का परिमाप 25 सेमी है और क्षेत्रफल 25 सेमी² है, तो इसकी लंबाई है:
(A) (a) 6.25 cm
(B) (b) 12.5 cm
(C) (c) 7.5 cm
(D) (d) 10 cm
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 10 cmExplanation: Method 1 (Algebraic Identity Method): Step 1: परिमाप $2(L + B) = 25 \implies L + B = 12.5\text{ cm}$. Step 2: क्षेत्रफल $L \times B = 25\text{ cm}^2$. Step 3: सूत्र $(L - B)^2 = (L + B)^2 - 4LB$ का उपयोग करने पर: $$(L - B)^2 = (12.5)^2 - 4(25) = 156.25 - 100 = 56.25$$ $$L - B = \sqrt{56.25} = 7.5\text{ cm}$$ Step 4: दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $$2L = 12.5 + 7.5 = 20 \implies L = 10\text{ cm}$$ अतः सही विकल्प (d) 10 cm है। Method 2 (Option Verification Method): यदि लंबाई $L = 10\text{ cm}$ हो, तो चौड़ाई $B = 25 / 10 = 2.5\text{ cm}$ होगी। परिमाप = $2(10 + 2.5) = 2(12.5) = 25\text{ cm}$ (सत्यापित)। अतः सही उत्तर (d) है।
The length of a rectangle is 4m more than side of a square and the breadth of the rectangle is 4 m less than the side of the same square. If the area of this square is 576 sq.m, what is the area of the rectangle?
किसी आयत की लंबाई एक वर्ग की भुजा से 4 m अधिक है और चौड़ाई वर्ग की भुजा से 4 m कम है। यदि वर्ग का क्षेत्रफल 576 sq.m है, तब आयत का क्षेत्रफल क्या होगा?
(A) (a) 560
(B) (b) 545
(C) (c) 557
(D) (d) 551
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 560Explanation: Method 1 (Side Evaluation Method): Step 1: वर्ग की भुजा ($a$) निकालें: $$a^2 = 576 \implies a = \sqrt{576} = 24\text{ m}$$ Step 2: आयत की लंबाई और चौड़ाई निकालें: - लंबाई ($L$) = $24 + 4 = 28\text{ m}$ - चौड़ाई ($B$) = $24 - 4 = 20\text{ m}$ Step 3: आयत का क्षेत्रफल ज्ञात करें: $$\text{क्षेत्रफल} = L \times B = 28 \times 20 = 560\text{ वर्ग मीटर}$$ अतः सही विकल्प (a) 560 है। Method 2 (Algebraic Identity Method): $$\text{आयत का क्षेत्रफल} = (a + 4)(a - 4) = a^2 - 16 = 576 - 16 = 560\text{ वर्ग मीटर}$$ अतः सही उत्तर (a) है।
The perimeter of the rectangle is 280m and the difference between its two sides is 40m. Find the side of a square whose area is equal to the area of this rectangle.
आयत का परिमाप 280m है और इसकी दोनों भुजाओं के बीच का अंतर 40m है। एक ऐसे वर्ग की भुजा ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इस आयत के क्षेत्रफल के बराबर है।
(A) (a) 45√6 m
(B) (b) 30√5 m
(C) (c) 30√6 m
(D) (d) 45√5 m
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 30√5 mExplanation: Method 1 (Dimensions & Equal Area Method): Step 1: परिमाप $2(L + B) = 280 \implies L + B = 140\text{ m}$. Step 2: दोनों भुजाओं का अंतर $L - B = 40\text{ m}$. Step 3: दोनों समीकरणों को हल करने पर: $$2L = 180 \implies L = 90\text{ m}$$ $$B = 140 - 90 = 50\text{ m}$$ Step 4: आयत का क्षेत्रफल نکالें: $$\text{क्षेत्रफल} = 90 \times 50 = 4500\text{ m}^2$$ Step 5: वर्ग की भुजा ($s$) निकालें: $$s^2 = 4500 \implies s = \sqrt{4500} = \sqrt{900 \times 5} = 30\sqrt{5}\text{ m}$$ अतः सही विकल्प (b) 30√5 m है। Method 2 (Square Root Factorization): $$s = \sqrt{90 \times 50} = \sqrt{9 \times 10 \times 5 \times 10} = 3 \times 10\sqrt{5} = 30\sqrt{5}\text{ m}$$ अतः सही उत्तर (b) है।
If length of a rectangle is decreased by 6 cm, we get a square and the area of the square so formed is 252 square cm less than the area of the square formed, when breadth of the original rectangle is increased by 6 cm. find the perimeter of the rectangle?
यदि एक आयत की लंबाई में 6 सेमी की कमी की जाती है, तो हमें एक वर्ग मिलता है और इस प्रकार बने वर्ग का क्षेत्रफल उस वर्ग के क्षेत्रफल से 252 वर्ग सेमी कम होता है, जब मूल आयत की चौड़ाई में 6 सेमी की वृद्धि की जाती है। आयत का परिमाप ज्ञात कीजिए?
(A) (a) 42 cm
(B) (b) 88 cm
(C) (c) 80 cm
(D) (d) 84 cm
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 84 cmExplanation: Method 1 (Algebraic Expansion Method): Step 1: प्रश्न के अनुसार: - लंबाई को 6 घटाने पर वर्ग की भुजा $l - 6$ बनती है तथा उसका क्षेत्रफल चौड़ाई के सापेक्ष $b(l - 6)$ के समतुल्य रूप लेता है। - चौड़ाई को 6 बढ़ाने पर बनने वाले क्षेत्र $l(b + 6)$ और इसके बीच का अंतर 252 है: $$l(b + 6) - b(l - 6) = 252$$ Step 2: कोष्ठक खोलने पर: $$lb + 6l - lb + 6b = 252$$ $$6(l + b) = 252 \implies l + b = \frac{252}{6} = 42\text{ सेमी}$$ Step 3: आयत का परिमाप निकालें: $$\text{परिमाप} = 2(l + b) = 2 \times 42 = 84\text{ सेमी}$$ अतः सही विकल्प (d) 84 cm है। Method 2 (Direct Formula): $$\text{परिमाप} = 2(l + b) = 2 \times \frac{252}{6} = 2 \times 42 = 84\text{ सेमी}$$ अतः सही उत्तर (d) है।
A rectangular plot, 55m long and 45m broad, has two concrete crossroads (of equal width) running in the middle of it one parallel to the length and the other parallel to the breadth. The rest of the plot is used as a lawn. If the area of the lawn is 1911 m², what is the width of each of the crossroads (in m ) ?
एक आयताकार पार्क की माप 55 मीटर लंबा और 45 मीटर चौड़ा है। पार्क के बीच से होकर दो रास्ते जाते हैं जो पार्क की लंबाई और चौड़ाई के समानांतर हैं। रास्ते के अलावा शेष भाग में लॉन है। यदि लॉन का क्षेत्रफल 1911 मीटर² है, तब रास्ते की चौड़ाई क्या होगी?
(A) (a) 5.5
(B) (b) 6
(C) (c) 4
(D) (d) 5
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 6Explanation: Method 1 (Lawn Area Equation Method): Step 1: रास्ते की चौड़ाई $w$ मान लें। रास्तों को हटाने पर शेष लॉन का क्षेत्रफल: $$\text{लॉन का क्षेत्रफल} = (L - w)(B - w)$$ Step 2: मान प्रतिस्थापित करने पर ($L = 55, B = 45$): $$(55 - w)(45 - w) = 1911$$ Step 3: विकल्प (b) $w = 6$ रखने पर जाँचें: $$(55 - 6)(45 - 6) = 49 \times 39 = 1911\text{ m}^2 \quad (\text{सत्यापित})$$ अतः रास्ते की चौड़ाई 6 मीटर है। अतः सही विकल्प (b) 6 है। Method 2 (Quadratic Formulation Method): $$2475 - 100w + w^2 = 1911 \implies w^2 - 100w + 564 = 0$$ $$(w - 6)(w - 94) = 0 \implies w = 6\text{ m}$$ अतः सही उत्तर (b) है।
ABCD is a trapezium, where AB is parallel to DC. If AB = 4 cm, BC = 3 cm, CD = 7 cm and DA = 2 cm, then what is the area of the trapezium?
ABCD एक ट्रेपेजियम है, जहां AB, CD के समानांतर है। यदि AB = 4 सेमी, BC = 3 सेमी, CD = 7 सेमी और DA = 2 सेमी, तो ट्रेपेजियम का क्षेत्रफल क्या है?
(A) (a) 22\sqrt{\frac{2}{3}} cm^2
(B) (b) 22\sqrt{\frac{3}{2}} cm^2
(C) (c) 22\sqrt{3} cm^2
(D) (d) \frac{22\sqrt{2}}{3} cm^2
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) \frac{22\sqrt{2}}{3} cm^2Explanation: Method 1 (Triangle Height Resolution Method): Step 1: बिंदु B से भुजा DA के समानांतर रेखा BF खींचें ($BF = DA = 2\text{ सेमी}$)। चूँकि $AB = DF = 4\text{ सेमी}$, अतः आधार $FC = CD - DF = 7 - 4 = 3\text{ सेमी}$। Step 2: $\Delta BFC$ की भुजाएँ $2\text{ सेमी}, 3\text{ सेमी}, 3\text{ सेमी}$ हैं (समद्विबाहु त्रिभुज)। आधार $FC = 3\text{ सेमी}$ पर ऊंचाई $BE$ निकालें: - अर्ध-परिमाप $s = \frac{2 + 3 + 3}{2} = 4\text{ सेमी}$ - $\Delta BFC$ का क्षेत्रफल = $\sqrt{4(4 - 2)(4 - 3)(4 - 3)} = \sqrt{4 \times 2 \times 1 \times 1} = 2\sqrt{2}\text{ cm}^2$ - ऊंचाई $BE = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{\text{आधार}} = \frac{2 \times 2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}\text{ सेमी}$ Step 3: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालें: $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2}(AB + CD) \times BE = \frac{1}{2}(4 + 7) \times \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{11 \times 4\sqrt{2}}{6} = \frac{22\sqrt{2}}{3}\text{ cm}^2$$ अतः सही विकल्प (d) 22√2 / 3 cm^2 है। Method 2 (Direct Inspection): $\text{क्षेत्रफल} = \frac{11}{2} \times \frac{4\sqrt{2}}{3} = \frac{22\sqrt{2}}{3}\text{ cm}^2$. अतः सही उत्तर (d) है।
If the diagonal of a rhombus is 8 cm and its area is 48 cm², then the length of each side of the rhombus is:
एक समचतुर्भुज का विकर्ण 8 सेमी है और इसका क्षेत्रफल 48 सेमी² है, तो समचतुर्भुज की प्रत्येक भुजा की लंबाई है:
(A) (a) √13 cm
(B) (b) 2√13 cm
(C) (c) 6√13 cm
(D) (d) 5√13 cm
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 2√13 cmExplanation: Method 1 (Diagonal to Side Relation Method): Step 1: समचतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = 48\text{ cm}^2$. Step 2: दिया गया विकर्ण $d_1 = 8\text{ सेमी}$ रखने पर: $$\frac{1}{2} \times 8 \times d_2 = 48 \implies 4 d_2 = 48 \implies d_2 = 12\text{ सेमी}$$ Step 3: समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लम्ब समद्विभाजित करते हैं: $$\text{भुजा} = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2}$$ $$\text{भुजा} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13}\text{ सेमी}$$ अतः सही विकल्प (b) 2√13 cm है। Method 2 (Formula Method): $$\text{भुजा} = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2} = \frac{1}{2}\sqrt{64 + 144} = \frac{1}{2}\sqrt{208} = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{13} = 2\sqrt{13}\text{ cm}$$ अतः सही उत्तर (b) है।
The circumcentre of an equilateral triangle is at a distance of 3.2 cm from the base of the triangle. What is the length (in cm) of each of its altitudes?
एक समबाहु त्रिभुज का परिकेन्द्र त्रिभुज के आधार से 3.2 सेमी की दूरी पर हैं। इसकी ऊंचाई (सेमी में) क्या है?
(A) (a) 9.6
(B) (b) 7.2
(C) (c) 6.4
(D) (d) 12.8
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 9.6Explanation: Method 1 (Centroid & Altitude Ratio Method): Step 1: समबाहु त्रिभुज में परिकेन्द्र, अंतःकेन्द्र और केन्द्रक एक ही बिंदु पर स्थित होते हैं। Step 2: आधार से परिकेन्द्र की लम्बवत दूरी अंतःत्रिज्या ($r$) के बराबर होती है: $$r = 3.2\text{ सेमी}$$ Step 3: केन्द्रक प्रत्येक माध्यिका (ऊंचाई) को $2 : 1$ के अनुपात में विभाजित करता है ($R : r = 2 : 1$): $$R = 2r = 2 \times 3.2 = 6.4\text{ सेमी}$$ Step 4: समबाहु त्रिभुज की कुल ऊंचाई ($H$): $$H = R + r = 6.4 + 3.2 = 9.6\text{ सेमी}$$ अतः सही विकल्प (a) 9.6 है। Method 2 (Direct Multiplier Method): $$H = 3r = 3 \times 3.2 = 9.6\text{ सेमी}$$ अतः सही उत्तर (a) है।
'O' is a point in the interior of an equilateral triangle. The perpendicular distance from 'O' to the sides are √3 cm, 2√3 cm, 5√3 cm. The perimeter of the triangle is:
'O' एक समबाहु त्रिभुज के अभ्यंतर में एक बिन्दु है। 'O' से भुजाओं की लम्बवत दूरी √3 सेमी, 2√3 सेमी, 5√3 सेमी है। त्रिभुज का परिमाप है:
(A) (a) 48 cm
(B) (b) 32 cm
(C) (c) 24 cm
(D) (d) 64 cm
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 48 cmExplanation: Method 1 (Viviani's Theorem & Perimeter Method): Step 1: लम्बवतों का कुल योग निकालें: $$P_1 + P_2 + P_3 = \sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 5\sqrt{3} = 8\sqrt{3}\text{ सेमी}$$ Step 2: समबाहु त्रिभुज की भुजा ($a$) का सूत्र: $$a = \frac{2}{\sqrt{3}}(P_1 + P_2 + P_3) = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 8\sqrt{3} = 16\text{ सेमी}$$ Step 3: त्रिभुज का परिमाप निकालें: $$\text{परिमाप} = 3a = 3 \times 16 = 48\text{ सेमी}$$ अतः सही विकल्प (a) 48 cm है। Method 2 (Height Formulation Method): ऊंचाई $h = P_1 + P_2 + P_3 = 8\sqrt{3}\text{ सेमी}$. $\frac{\sqrt{3}}{2}a = 8\sqrt{3} \implies a = 16\text{ सेमी}$. परिमाप = $3 \times 16 = 48\text{ सेमी}$. अतः सही उत्तर (a) है।
ABC is an equilateral triangle. P, Q and R are the midpoints of sides AB, BC and CA, respectively. If the length of the side of the triangle ABC is 8cm, then the area of ΔPQR is:
ABC एक समबाहु त्रिभुज है P, Q और R क्रमशः भुजाओं AB, BC और CA के मध्य बिन्दु हैं। यदि त्रिभुज ABC की भुजा की लम्बाई 8 सेमी है, तो ΔPQR का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
(A) (a) 4√3 cm²
(B) (b) 8√3 cm²
(C) (c) 16√3 cm²
(D) (d) 2√3 cm²
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 4√3 cm²Explanation: Method 1 (Mid-Point Theorem Method): Step 1: मध्य बिंदु प्रमेय के अनुसार, किसी त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा की आधी होती है: $$PR = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \times 8 = 4\text{ सेमी}$$ अतः $\Delta PQR$ भी 4 सेमी भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है। Step 2: $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल निकालें: $$\text{क्षेत्रफल} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4^2 = 4\sqrt{3}\text{ cm}^2$$ अतः सही विकल्प (a) 4√3 cm² है। Method 2 (One-Fourth Area Property Method): मध्य बिंदुओं को मिलाने से बना अंतःत्रिभुज मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का $\frac{1}{4}$ भाग होता है: $$\text{Area}(\Delta PQR) = \frac{1}{4} \times \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2\right) = \frac{1}{4} \times 16\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\text{ cm}^2$$ अतः सही उत्तर (a) है।
Of The three angles of a triangle, one is five times the smallest and another is three times the smallest. Find the smallest angles, and the type of the triangle
किसी त्रिभुज के तीनों कोणों में से एक सबसे छोटे कोण का पांच गुना और दूसरा सबसे छोटे कोण का तीन गुना होता है। सबसे छोटा कोण और त्रिभुज का प्रकार ज्ञात करें
(A) (a) 100°, obtuse angled triangle
(B) (b) 50°, obtuse angled triangle
(C) (c) 60°, acute angled triangle
(D) (d) 20°, obtuse angled triangle
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 20°, obtuse angled triangleExplanation: Method 1 (Angle Sum Property Method): Step 1: सबसे छोटा कोण $= x$ मान लें। अन्य दो कोण $5x$ और $3x$ होंगे। Step 2: त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^\circ$ होता है: $$x + 3x + 5x = 180^\circ \implies 9x = 180^\circ \implies x = 20^\circ$$ Step 3: तीनों कोण निकालें: - सबसे छोटा कोण = $20^\circ$ - दूसरा कोण = $3 \times 20^\circ = 60^\circ$ - सबसे बड़ा कोण = $5 \times 20^\circ = 100^\circ$ Step 4: चूँकि एक कोण ($100^\circ$) $90^\circ$ से अधिक है, अतः यह एक अधिक कोण त्रिभुज (Obtuse angled triangle) है। सबसे छोटा कोण $20^\circ$ है। अतः सही विकल्प (d) 20°, obtuse angled triangle है। Method 2 (Direct Inspection): $9x = 180^\circ \implies x = 20^\circ$ (न्यूनतम कोण)। अधिकतम कोण $= 100^\circ > 90^\circ \implies$ अधिक कोण त्रिभुज। अतः सही उत्तर (d) है।