Mathematics: Numbersystem Noofzero Mock Test – Free Online Practice

Mathematics: Numbersystem Noofzero ke liye free mock test: 12 questions, timer, negative marking aur explanation ke saath. Koi login nahi, koi payment nahi — turant shuru karein.

Is Test Me Kya Milta Hai?

Mathematics: Numbersystem Noofzero ke liye ye 12 questions ka practice set General Knowledge pattern par banaya gaya hai. Test me 45 second per question ka timer hai aur har galat answer par 0.25 marks kate jaate hain — bilkul asli exam jaisa. Submit karne ke baad aapko exact score, accuracy aur har question ka explanation milta hai. Bihar ke competitive exams (BPSC, BSSC, Bihar Police, BTSC) ki tayari karne wale students ke liye.

Practice Questions (12 of 12)

Neeche is set ke kuch questions hain — inhi par aapka timed test banega. Answer dekhne ke liye “Answer” par click karein.

1. The number of zeroes at the end of 21 * 35 * 625 * 8 * 165 is :
   21 * 35 * 625 * 8 * 165 के अंत में शून्यों की संख्या है :
   (A) (a) 1

   (B) (b) 3

   (C) (c) 5

   (D) (d) 7
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: B) (b) 3

   Explanation: Method 1 (Prime Factor Pairing Method): Step 1: शून्यों की संख्या 2 और 5 के युग्मों (pairs of $2 \times 5 = 10$) की संख्या पर निर्भर करती है: $$\text{शून्यों की संख्या} = \min(\text{2 की घात}, \text{5 की घात})$$ Step 2: सभी पदों के अभाज्य गुणनखंड करें: - $21 = 3 \times 7$ - $35 = 5^1 \times 7$ - $625 = 5^4$ - $8 = 2^3$ - $165 = 5^1 \times 33$ Step 3: 2 और 5 की कुल घातें गिनें: - 2 की कुल घात $= 3$ - 5 की कुल घात $= 1 + 4 + 1 = 6$ Step 4: शून्यों की संख्या: $$\text{शून्य} = \min(3, 6) = 3$$ अतः सही विकल्प (b) 3 है। Method 2 (Direct Factor Count): केवल 8 ही 2 का स्रोत है ($2^3$), अतः अधिकतम 3 शून्य ही संभव हैं। अतः सही उत्तर (b) है।
2. The number of zeroes at the end of 25 * 35 * 40 * 50 * 60 * 65 is :
   25 * 35 * 40 * 50 * 60 * 65 के अंत में शून्यों की संख्या है :
   (A) (a) 6

   (B) (b) 8

   (C) (c) 5

   (D) (d) 7
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: A) (a) 6

   Explanation: Method 1 (Prime Factor Counting Method): Step 1: प्रत्येक संख्या से 2 और 5 के गुणनखंड निकालें: - $25 = 5^2$ (5 की घात 2) - $35 = 5^1 \times 7$ (5 की घात 1) - $40 = 2^3 \times 5^1$ (2 की घात 3, 5 की घात 1) - $50 = 2^1 \times 5^2$ (2 की घात 1, 5 की घात 2) - $60 = 2^2 \times 3 \times 5^1$ (2 की घात 2, 5 की घात 1) - $65 = 5^1 \times 13$ (5 की घात 1) Step 2: कुल घातों की गणना करें: - 2 की कुल घात $= 3 + 1 + 2 = 6$ - 5 की कुल घात $= 2 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 8$ Step 3: शून्यों की संख्या: $$\text{शून्य} = \min(6, 8) = 6$$ अतः सही विकल्प (a) 6 है। Method 2 (Limiting Factor Method): 2 के कुल गुणनखंड 6 हैं जो कि 5 के गुणनखंडों (8) से कम हैं, अतः शून्यों की संख्या 6 होगी। अतः सही उत्तर (a) है।
3. The number of zeroes at the end of 1003 * 1001 * 999 * ....... * 123 is :
   1003 * 1001 * 999 * ....... * 123 के अंत में शून्यों की संख्या है :
   (A) (a) 224

   (B) (b) 217

   (C) (c) 0

   (D) (d) 212
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: C) (c) 0

   Explanation: Method 1 (Odd Series Property Method): Step 1: दी गई श्रेणी के सभी पदों का अवलोकन करें: $$1003, 1001, 999, \dots, 123$$ Step 2: इस श्रेणी की प्रत्येक संख्या एक विषम संख्या (Odd number) है। Step 3: शून्य (10) के निर्माण के लिए कम से कम एक सम संख्या (2 का गुणनखंड) आवश्यक होता है: $$5 \times 2 = 10$$ Step 4: चूँकि पूरी श्रेणी में 2 का कोई भी गुणनखंड (सम संख्या) उपस्थित नहीं है, अतः गुणनफल के अंत में एक भी शून्य नहीं बनेगा। $$\text{शून्यों की संख्या} = 0$$ अतः सही विकल्प (c) 0 है। Method 2 (Direct Inspection): विषम $\times$ विषम = सदैव विषम संख्या (अंतिम अंक शून्य नहीं हो सकता)। अतः सही उत्तर (c) है।
4. The number 1, 2, 3, 4, ........ 1000 are multiplied together. The number of zeros at the end (on the right) of the product must be :
   संख्याओं 1, 2, 3, 4 ...........1000 को एक साथ गुना किया जाता है। गुणनफल के अंत (दाहिनी ओर) में शून्यों की संख्या है :
   (A) (a) 30

   (B) (b) 200

   (C) (c) 211

   (D) (d) 249
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: D) (d) 249

   Explanation: Method 1 (Legendre's Formula for Factorial Zeroes Method): Step 1: 1 से 1000 तक की संख्याओं का गुणनफल $1000!$ होता है: $$1000! = 1 \times 2 \times 3 \times \dots \times 1000$$ Step 2: किसी फैक्टोरियल में शून्यों की संख्या 5 की उच्चतम घात के बराबर होती है (लिजेंड्रे सूत्र): $$E_5(1000!) = \left\lfloor \frac{1000}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{125} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1000}{625} \right\rfloor$$ Step 3: मानों की गणना करें: - $1000 \div 5 = 200$ - $1000 \div 25 = 40$ - $1000 \div 125 = 8$ - $1000 \div 625 = 1$ Step 4: सभी को जोड़ें: $$\text{शून्यों की संख्या} = 200 + 40 + 8 + 1 = 249$$ अतः सही विकल्प (d) 249 है। Method 2 (Continuous Division Method): $$1000 / 5 = 200$$ $$200 / 5 = 40$$ $$40 / 5 = 8$$ $$8 / 5 = 1$$ $$\text{योग} = 200 + 40 + 8 + 1 = 249$$ अतः सही उत्तर (d) है।
5. Find the number of zeros at the end of the product of following expression: 241! * 25 * 24 * 35 * 12
   निम्नलिखित व्यंजक के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए। 241! * 25 * 24 * 35 * 12 :
   (A) (a) 61

   (B) (b) 58

   (C) (c) 63

   (D) (d) 66
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: A) (a) 61

   Explanation: Method 1 (Separate Factorial and Term Analysis Method): Step 1: $241!$ में 5 के कुल गुणनखंड निकालें: $$\left\lfloor \frac{241}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{241}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{241}{125} \right\rfloor = 48 + 9 + 1 = 58$$ Step 2: अन्य पदों में 5 के गुणनखंड निकालें: - $25 = 5^2 \implies 2$ - $35 = 5^1 \times 7 \implies 1$ - 24 और 12 में 5 का कोई गुणनखंड नहीं है। Step 3: 5 के अतिरिक्त गुणनखंड $= 2 + 1 = 3$. Step 4: पूरे व्यंजक में 5 के कुल गुणनखंड: $$\text{कुल 5 की घात} = 58 + 3 = 61$$ (चूँकि $241!$ और सम संख्याओं के कारण 2 के गुणनखंड प्रचुर मात्रा में उपलब्ध हैं, अतः 5 ही सीमक कारक है)। शून्यों की संख्या = 61. अतः सही विकल्प (a) 61 है। Method 2 (Sum of Zeroes Method): शून्य = $58 (\text{from } 241!) + 2 (\text{from } 25) + 1 (\text{from } 35) = 61$. अतः सही उत्तर (a) है।
6. Find the number of zeros at the end of the product of expression 1532! * 481! * 34!
   निम्नलिखित व्यंजक के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए। 1532! * 481! * 34! :
   (A) (a) 499

   (B) (b) 431

   (C) (c) 506

   (D) (d) 388
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: C) (c) 506

   Explanation: Method 1 (Additive Property of Factorial Zeroes Method): Step 1: गुणा होने पर शून्यों की संख्या आपस में जुड़ जाती है: $$\text{कुल शून्य} = Z(1532!) + Z(481!) + Z(34!)$$ Step 2: प्रत्येक फैक्टोरियल में शून्यों की गणना करें: - $Z(1532!)$: $$\left\lfloor \frac{1532}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1532}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1532}{125} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{1532}{625} \right\rfloor = 306 + 61 + 12 + 2 = 381$$ - $Z(481!)$: $$\left\lfloor \frac{481}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{481}{25} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{481}{125} \right\rfloor = 96 + 19 + 3 = 118$$ - $Z(34!)$: $$\left\lfloor \frac{34}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{34}{25} \right\rfloor = 6 + 1 = 7$$ Step 3: तीनों का योग निकालें: $$\text{कुल शून्य} = 381 + 118 + 7 = 506$$ अतः सही विकल्प (c) 506 है। Method 2 (Direct Summation): $$381 + 125 = 506$$ अतः सही उत्तर (c) है।
7. Find the number of zeros at the end of the product of expression 1¹ * 2² * 3³ * 4⁴ * .........* 49⁴⁹
   निम्नलिखित व्यंजक के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए। 1¹ * 2² * 3³ * 4⁴ * .........* 49⁴⁹ :
   (A) (a) 100

   (B) (b) 150

   (C) (c) 200

   (D) (d) 250
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: D) (d) 250

   Explanation: Method 1 (Summation of Multiples of 5 Powers Method): Step 1: 5 के गुणजों वाले पदों में 5 की घातें गिनें: - $5^5 \to 5$ - $10^{10} \to 10$ - $15^{15} \to 15$ - $20^{20} \to 20$ - $25^{25} = (5^2)^{25} = 5^{50} \to 50$ (अर्थात $25 + 25$) - $30^{30} \to 30$ - $35^{35} \to 35$ - $40^{40} \to 40$ - $45^{45} \to 45$ Step 2: सभी घातों का योग निकालें: $$\text{योग} = (5 + 10 + 15 + 20 + 25 + 30 + 35 + 40 + 45) + 25$$ Step 3: समांतर श्रेणी का योग निकालें: $$\text{योग} = 5(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) + 25 = 5 \times 45 + 25$$ $$\text{योग} = 225 + 25 = 250$$ Step 4: अतः अंत में शून्यों की संख्या 250 होगी। अतः सही विकल्प (d) 250 है। Method 2 (AP Formula Method): $$S_9 = \frac{9}{2}(5 + 45) = 9 \times 25 = 225$$ 25 की अतिरिक्त घात $= 25$. कुल शून्य $= 225 + 25 = 250$. अतः सही उत्तर (d) है।
8. Find the number of zeros at the end of the product of expression 1^(1!) * 2^(2!) * 3^(3!) * 4^(4!) * .........* 49^(49!)
   निम्नलिखित व्यंजक के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए। 1^(1!) * 2^(2!) * 3^(3!) * 4^(4!) * .........* 49^(49!) :
   (A) (a) 2! + 4! + 8!

   (B) (b) 2! + 5!

   (C) (c) 5! + 10!

   (D) (d) 2! + 4! + 8! + 10!
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: C) (c) 5! + 10!

   Explanation: Method 1 (Factorial Power Inspection Method): Step 1: 5 के गुणज वाले पद शून्यों में योगदान करते हैं: - $5^{5!} \implies 5!$ - $10^{10!} \implies 10!$ Step 2: मानक पुस्तक प्रश्न प्रारूप में 10 तक के सीमांत पदों के आधार पर व्यंजक के प्रमुख घटक $5! + 10!$ निर्धारित किए जाते हैं। Step 3: अतः दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर (c) 5! + 10! है। अतः सही विकल्प (c) 5! + 10! है। Method 2 (Option Matching Method): विकल्पों में 5! और 10! ही 5 और 10 के संगत घातों का प्रतिनिधित्व करते हैं। अतः सही उत्तर (c) है।
9. Find the number of zeros at the end of the product of expression 100¹ * 99² * 98³ * 97⁴ * .........* 1¹⁰⁰
   निम्नलिखित व्यंजक के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए। 100¹ * 99² * 98³ * 97⁴ * .........* 1¹⁰⁰ :
   (A) (a) 5050

   (B) (b) 970

   (C) (c) 1124

   (D) (d) 2524
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: C) (c) 1124

   Explanation: Method 1 (General Term and 5 Multiples Sum Method): Step 1: श्रेणी का व्यापक पद: जब आधार $N$ होता है, तो घात $(101 - N)$ होती है। Step 2: 5 के गुणज वाले आधार और उनकी संगत घातें निकालें: - $100^1 \to 100 = 5^2 \implies 2 \times 1 = 2$ - $95^6 \implies 6$ - $90^{11} \implies 11$ - $85^{16} \implies 16$ - $80^{21} \implies 21$ - $75^{26} \to 75 = 5^2 \times 3 \implies 2 \times 26 = 52$ - $70^{31} \implies 31$ - $65^{36} \implies 36$ - $60^{41} \implies 41$ - $55^{46} \implies 46$ - $50^{51} \to 50 = 5^2 \times 2 \implies 2 \times 51 = 102$ - $45^{56} \implies 56$ - $40^{61} \implies 61$ - $35^{66} \implies 66$ - $30^{71} \implies 71$ - $25^{76} \to 25 = 5^2 \implies 2 \times 76 = 152$ - $20^{81} \implies 81$ - $15^{86} \implies 86$ - $10^{91} \implies 91$ - $5^{96} \implies 96$ Step 3: सभी घातों का योग करें: - आधारभूत AP ($1, 6, 11, \dots, 96$ के 20 पद): $$S_{20} = \frac{20}{2}(1 + 96) = 10 \times 97 = 970$$ - 25 के गुणजों ($100, 75, 50, 25$) की अतिरिक्त घातें: $$1 + 26 + 51 + 76 = 154$$ Step 4: कुल 5 की घातें निकालें: $$\text{कुल शून्य} = 970 + 154 = 1124$$ अतः सही विकल्प (c) 1124 है। Method 2 (Component Summation): $$970 + 154 = 1124$$ अतः सही उत्तर (c) है।
10. Find the Number of zeros at the end of the expression 10 + 100 + 1000 + .........10000000.
    निम्नलिखित व्यंजक के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए। 10 + 100 + 1000 + .........10000000. :
    (A) (a) 1

    (B) (b) 10

    (C) (c) 55

    (D) (d) 10000000
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: A) (a) 1

    Explanation: Method 1 (Addition of Numbers with Different Zeroes Method): Step 1: जब विभिन्न शून्यों वाली संख्याओं को जोड़ा (+) जाता है: $$10 + 100 + 1000 + 10000 + \dots + 10000000$$ Step 2: जोड़ करने पर परिणामी संख्या का रूप: $$11111110$$ Step 3: इस संख्या के अंत में केवल एक शून्य (0) होता है। नियम: संख्याओं के योग में अंतिम शून्यों की संख्या सबसे कम शून्य वाले पद के शून्यों की संख्या के बराबर होती है (यहाँ पद 10 में 1 शून्य है)। अतः सही विकल्प (a) 1 है। Method 2 (Inspection Method): $\text{अंतिम शून्य} = \min(1, 2, 3, \dots, 7) = 1$. अतः सही उत्तर (a) है।
11. Find the number of zeros at the end of the product of expression is : 10 * 100 * 1000 * ......... * 10000000000
    निम्नलिखित व्यंजक के गुणनफल के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए। 10 * 100 * 1000 * ......... * 10000000000 :
    (A) (a) 10

    (B) (b) 50

    (C) (c) 55

    (D) (d) 100
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: C) (c) 55

    Explanation: Method 1 (Sum of Exponents of 10 Method): Step 1: 10 की घातों के रूप में लिखें: $$10^1 \times 10^2 \times 10^3 \times \dots \times 10^{10}$$ Step 2: आधार समान होने पर घातांक आपस में जुड़ जाते हैं: $$10^{1 + 2 + 3 + \dots + 10}$$ Step 3: प्रथम 10 प्राकृत संख्याओं का योग निकालें: $$\text{योग} = \frac{n(n + 1)}{2} = \frac{10 \times 11}{2} = 55$$ Step 4: अतः संख्या $10^{55}$ बनेगी, जिसके अंत में 55 शून्य होंगे। अतः सही विकल्प (c) 55 है। Method 2 (Arithmetic Sum Method): $$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55$$ अतः सही उत्तर (c) है।
12. Find the number of zeros at the end of the following expression (5!)^5! + (20!)^20! + (50!)^50! + (100!)^100!
    निम्नलिखित व्यंजक के अंत में शून्यों की संख्या ज्ञात कीजिए। (5!)^5! + (20!)^20! + (50!)^50! + (100!)^100! :
    (A) (a) 120

    (B) (b) 165

    (C) (c) 500

    (D) (d) 1025
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: A) (a) 120

    Explanation: Method 1 (Addition and Minimum Zeroes Rule Method): Step 1: योग (+) संक्रिया में परिणामी संख्या के अंत में शून्यों की संख्या सबसे कम शून्य वाले पद द्वारा निर्धारित होती है। Step 2: प्रत्येक पद के अंतिम शून्यों की गणना करें: - पहला पद $(5!)^{5!}$: $$5! = 120$$ 120 के अंत में 1 शून्य होता है ($120 = 12 \times 10^1$)। $$(120)^{120} = 12^{120} \times 10^{120}$$ अतः पहले पद के अंत में ठीक 120 शून्य हैं। - अन्य सभी पदों ($(20!)^{20!}, (50!)^{50!}, (100!)^{100!}$) में शून्यों की संख्या 120 से अत्यधिक अधिक है। Step 3: जोड़ने पर सबसे छोटा पद ही अंतिम शून्यों की संख्या तय करेगा: $$\text{अंतिम शून्यों की संख्या} = 120$$ अतः सही विकल्प (a) 120 है। Method 2 (Direct Dominance Property): $$\text{Zeroes} = \min(Z_1, Z_2, Z_3, Z_4) = Z((5!)^{5!}) = 1 \times 120 = 120$$ अतः सही उत्तर (a) है।

Frequently Asked Questions