Mathematics: Numbersystem Remaindertheorum ke liye free mock test: 54 questions, timer, negative marking aur explanation ke saath. Koi login nahi, koi payment nahi — turant shuru karein.
Mathematics: Numbersystem Remaindertheorum ke liye ye 54 questions ka practice set General Knowledge pattern par banaya gaya hai. Test me 45 second per question ka timer hai aur har galat answer par 0.25 marks kate jaate hain — bilkul asli exam jaisa. Submit karne ke baad aapko exact score, accuracy aur har question ka explanation milta hai. Bihar ke competitive exams (BPSC, BSSC, Bihar Police, BTSC) ki tayari karne wale students ke liye.
Neeche is set ke kuch questions hain — inhi par aapka timed test banega. Answer dekhne ke liye “Answer” par click karein.
On dividing a number by 38, the quotient is 24 and the remainder is 13, then the number is :
किसी संख्या को 38 से भाग देने पर भागफल 24 तथा शेषफल 13 आता है। वह संख्या कौन-सी है?
(A) (a) 925
(B) (b) 975
(C) (c) 904
(D) (d) 956
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 925Explanation: Method 1 (Division Algorithm Formula Method): Step 1: विभाजन प्रमेयिका का सूत्र: $$\text{भाज्य (Dividend)} = (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$$ Step 2: दिए गए मान प्रतिस्थापित करने पर: $$\text{संख्या} = (38 \times 24) + 13$$ Step 3: गणना करें: $$38 \times 24 = 912$$ $$\text{संख्या} = 912 + 13 = 925$$ अतः सही विकल्प (a) 925 है। Method 2 (Unit Digit Method): गुणनफल $8 \times 4 = 32$ (इकाई अंक 2)। इकाई अंक में शेषफल 3 जोड़ने पर: $2 + 3 = 5$। विकल्पों में केवल 925 और 975 का इकाई अंक 5 है, तथा $40 \times 24 \approx 960$ से कम मान 925 ही संभव है। अतः सही उत्तर (a) है।
On dividing 8675123 by a certain number, the quotient is 33611 and the remainder is 3485. The divisor is
8675123 को एक निश्चित संख्या से भाग देने पर भागफल 33611 और शेषफल 3485 आता है। भाजक ज्ञात कीजिए।
(A) (a) 538
(B) (b) 258
(C) (c) 248
(D) (d) 356
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 258Explanation: Method 1 (Divisor Formula Method): Step 1: सूत्र: $$\text{भाजक (Divisor)} = \frac{\text{भाज्य} - \text{शेषफल}}{\text{भागफल}}$$ Step 2: मान प्रतिस्थापित करने पर: $$\text{भाजक} = \frac{8675123 - 3485}{33611}$$ Step 3: घटाव करें: $$8675123 - 3485 = 8671638$$ Step 4: भागफल से विभाजित करें: $$\text{भाजक} = \frac{8671638}{33611} = 258$$ अतः सही विकल्प (b) 258 है। Method 2 (Unit Digit Inspection Method): अंश का इकाई अंक 8 है ($13 - 5 = 8$) तथा हर का इकाई अंक 1 है। अतः भाजक का इकाई अंक 8 होना चाहिए ($1 \times 8 = 8$)। दिए गए विकल्पों में 258 और 248 हैं। लगभग मान: $\frac{8.67 \times 10^6}{3.36 \times 10^4} \approx 258$। अतः सही उत्तर (b) है।
When a number x is divided by a divisor it is seen that the divisor = 4 times the quotient = double the remainder. If the remainder is 80, then the value of x is :
जब संख्या x को एक भाजक से भाग देने पर देखा जाता है कि भाजक का चार गुना, शेषफल के दोगुने के बराबर है। यदि शेषफल 80 है, तो x का मान है :
(A) (a) 6480
(B) (b) 9680
(C) (c) 8460
(D) (d) 4680
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 6480Explanation: Method 1 (Relations Evaluation Method): Step 1: दिया गया है कि शेषफल (Remainder) $= 80$. Step 2: भाजक निकालें: $$\text{भाजक} = 2 \times \text{शेषफल} = 2 \times 80 = 160$$ Step 3: भागफल निकालें: $$\text{भाजक} = 4 \times \text{भागफल} \implies 160 = 4 \times \text{भागफल}$$ $$\text{भागफल} = \frac{160}{4} = 40$$ Step 4: भाज्य $x$ का मान निकालें: $$x = (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$$ $$x = (160 \times 40) + 80 = 6400 + 80 = 6480$$ अतः सही विकल्प (a) 6480 है। Method 2 (Direct Algebraic Formulation): $$x = (2R) \times \left(\frac{2R}{4}\right) + R = R^2 + R = 80^2 + 80 = 6400 + 80 = 6480$$ अतः सही उत्तर (a) है।
The divisor is 24 times the quotient and 8 times the remainder. If the quotient is 18, then the dividend is :
भाजक भागफल का 24 गुना और शेष 8 गुना है। यदि भागफल 18 है, तो भाज्य है :
(A) (a) 7830
(B) (b) 7630
(C) (c) 7840
(D) (d) 7450
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 7830Explanation: Method 1 (Step-by-Step Value Determination Method): Step 1: भागफल $= 18$ दिया गया है। भाजक निकालें: $$\text{भाजक} = 24 \times \text{भागफल} = 24 \times 18 = 432$$ Step 2: शेषफल निकालें: $$\text{भाजक} = 8 \times \text{शेषफल} \implies 432 = 8 \times \text{शेषफल}$$ $$\text{शेषफल} = \frac{432}{8} = 54$$ Step 3: भाज्य (Dividend) निकालें: $$\text{भाज्य} = (\text{भाजक} \times \text{भागफल}) + \text{शेषफल}$$ $$\text{भाज्य} = (432 \times 18) + 54 = 7776 + 54 = 7830$$ अतः सही विकल्प (a) 7830 है। Method 2 (Factor Distribution Method): $$\text{भाज्य} = 432 \times 18 + 54 = 54 \times (8 \times 18 + 1) = 54 \times (144 + 1) = 54 \times 145 = 7830$$ अतः सही उत्तर (a) है।
A number when divided by 44, gives 432 as quotient and 0 as remainder. What will be the remainder when dividing the same number by 31?
किसी संख्या को 44 से भाग देने पर भागफल 432 और शेष 0 प्राप्त होता है। उसी संख्या को 31 से विभाजित करने पर शेषफल क्या प्राप्त होगा?
(A) (a) 3
(B) (b) 4
(C) (c) 5
(D) (d) 6
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 5Explanation: Method 1 (Direct Calculation Method): Step 1: मूल संख्या (भाज्य) ज्ञात करें (मूल प्रश्न में शेषफल 0 है): $$\text{संख्या} = (44 \times 432) + 0 = 19008$$ Step 2: इस संख्या को 31 से भाग देकर शेषफल निकालें: $$19008 = 31 \times 613 + 5$$ Step 3: भाग देने पर शेषफल 5 प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प (c) 5 है। Method 2 (Modular Remainder Arithmetic Method): $$N \equiv (44 \times 432) \pmod{31}$$ - $44 \equiv 13 \pmod{31}$ - $432 = 31 \times 13 + 29 \equiv 29 \equiv -2 \pmod{31}$ $$N \equiv 13 \times (-2) \equiv -26 \equiv 31 - 26 \equiv 5 \pmod{31}$$ (नोट: यदि मुद्रित मिसप्रिंट अनुसार शेष 10 जोड़ा जाए तो शेष 15 आता है, परंतु आधिकारिक प्रश्न में शेष 0 होने पर उत्तर 5 मान्य है)। अतः सही उत्तर (c) है।
When n is divided by 4, the remainder is 3. The remainder when 2n is divided by 4 is :
जब n को 4 से विभाजित किया जाता है शेष 3 प्राप्त होता है। जब 2n को 4 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल क्या प्राप्त होगा?
(A) (a) 1
(B) (b) 2
(C) (c) 3
(D) (d) 6
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 2Explanation: Method 1 (Remainder Scaling Method): Step 1: जब किसी संख्या को दोगुना किया जाता है, तो उसका शेषफल भी उसी अनुपात में दोगुना हो जाता है: $$\text{नया शेषफल} = 2 \times 3 = 6$$ Step 2: चूँकि नया मान 6 भाजक 4 से बड़ा है, अतः इसे पुनः 4 से भाग दें: $$6 = 4 \times 1 + 2 \implies \text{अंतिम शेषफल} = 2$$ अतः सही विकल्प (b) 2 है। Method 2 (Value Substitution Method): $n$ का सबसे छोटा मान मान लें: $$n = 4 \times 0 + 3 = 3$$ अब $2n = 2 \times 3 = 6$। 6 को 4 से भाग देने पर: $$6 \div 4 \implies \text{शेषफल} = 2$$ अतः सही उत्तर (b) है।
When the integer n is divided by 7, the remainder is 3. What is the remainder if 5n is divided by 7?
जब पूर्णांक n को 7 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 3 आता है। जब 5n को 7 से विभाजित किया जाएगा तो शेषफल क्या आएगा?
(A) (a) 3
(B) (b) 0
(C) (c) 1
(D) (d) 2
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 1Explanation: Method 1 (Direct Property of Remainders Method): Step 1: $n$ को 7 से भाग देने पर शेषफल 3 है: $$n \equiv 3 \pmod 7$$ Step 2: $5n$ का शेषफल निकालने के लिए मूल शेषफल को 5 से गुणा करें: $$5n \equiv 5 \times 3 = 15 \pmod 7$$ Step 3: 15 को 7 से भाग दें: $$15 = 7 \times 2 + 1 \implies \text{शेषफल} = 1$$ अतः सही विकल्प (c) 1 है। Method 2 (Substitution Method): $n = 3$ रखने पर: $$5n = 5 \times 3 = 15$$ $$15 \div 7 = 2, \quad \text{शेषफल} = 1$$ अतः सही उत्तर (c) है।
A number 'n' when divided by 6 leaves remainder 2. What will be the remainder when (n² + n + 2) is divided by 6?
एक संख्या 'n' को 6 से विभाजित करने पर 2 शेषफल बचता है। (n² + n + 2) को 6 से विभाजित करने पर शेषफल क्या प्राप्त होगा?
(A) (a) 6
(B) (b) 2
(C) (c) 4
(D) (d) 0
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 2Explanation: Method 1 (Substitution of Remainder Method): Step 1: चूँकि $n \equiv 2 \pmod 6$, अतः व्यंजक $(n^2 + n + 2)$ में $n$ के स्थान पर सीधे शेषफल 2 प्रतिस्थापित किया जा सकता है: $$\text{व्यंजक का मान} = 2^2 + 2 + 2 = 4 + 2 + 2 = 8$$ Step 2: 8 को भाजक 6 से भाग देने पर शेषफल निकालें: $$8 = 6 \times 1 + 2 \implies \text{शेषफल} = 2$$ अतः सही विकल्प (b) 2 है। Method 2 (Algebraic General Form Method): मान लें $n = 6k + 2$: $$n^2 + n + 2 = (6k + 2)^2 + (6k + 2) + 2 = 36k^2 + 24k + 4 + 6k + 4 = 36k^2 + 30k + 8$$ $$= 6(6k^2 + 5k + 1) + 2$$ अतः 6 से भाग देने पर शेषफल सदैव 2 बचेगा। अतः सही उत्तर (b) है।
When an integer n is divided by 8, the remainder is 3. What will be the remainder if 6n - 1 is divided by 8?
जब पूर्णांक n को 8 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल 3 आता है। शेषफल क्या होगा जब 6n - 1 को 8 से विभाजित किया जाता है?
(A) (a) 4
(B) (b) 1
(C) (c) 0
(D) (d) 2
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 1Explanation: Method 1 (Direct Remainder Replacement Method): Step 1: $n \equiv 3 \pmod 8$ दिया गया है। Step 2: व्यंजक $(6n - 1)$ में $n = 3$ प्रतिस्थापित करें: $$6(3) - 1 = 18 - 1 = 17$$ Step 3: 17 को 8 से भाग देकर शेषफल निकालें: $$17 = 8 \times 2 + 1 \implies \text{शेषफल} = 1$$ अतः सही विकल्प (b) 1 है। Method 2 (Modular Arithmetic Method): $$6n - 1 \equiv 6(3) - 1 \equiv 17 \equiv 1 \pmod 8$$ अतः सही उत्तर (b) है।
If a positive integer n is divided by 7, the remainder is 2. Which of the numbers in the options yields a remainder of 0 when it is divided by 7?
यदि एक धनात्मक पूर्णांक n को 7 से विभाजित किया जाता है, तो शेष 2 है। विकल्पों में से कौन-सी संख्या 7 से विभाजित होने पर शेष 0 देता है?
(A) (a) n + 3
(B) (b) n + 1
(C) (c) n + 2
(D) (d) n + 5
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) n + 5Explanation: Method 1 (Remainder Complement Method): Step 1: दिया गया है कि $n$ को 7 से भाग देने पर शेषफल 2 बचता है: $$n = 7k + 2$$ Step 2: संख्या को 7 का पूर्ण गुणज (शेषफल 0) बनाने के लिए इसमें $7 - 2 = 5$ जोड़ना पड़ेगा: $$n + 5 = (7k + 2) + 5 = 7k + 7 = 7(k + 1)$$ चूँकि $7(k + 1)$ संख्या 7 से पूर्णतः विभाज्य है, अतः यह शेषफल 0 देगी। अतः सही विकल्प (d) n + 5 है। Method 2 (Option Testing with n = 2): $n = 2$ मान लें: - (a) $2 + 3 = 5$ ($5 \div 7$ शेष 5) - (b) $2 + 1 = 3$ ($3 \div 7$ शेष 3) - (c) $2 + 2 = 4$ ($4 \div 7$ शेष 4) - (d) $2 + 5 = 7$ ($7 \div 7 = 1$, शेषफल = 0) अतः सही उत्तर (d) है।
If a positive integer N is divided by 7, the remainder is 3. Which of the following numbers yields a remainder of 0 when it is divided by 7?
यदि एक धनात्मक पूर्णांक N को 7 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 3 प्राप्त होता है। निम्नलिखित में से किस संख्या को 7 से विभाजित करने पर शेषफल 0 प्राप्त होगा?
(A) (a) N + 5
(B) (b) N + 2
(C) (c) N + 4
(D) (d) N + 3
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) N + 4Explanation: Method 1 (Remainder Complement Method): Step 1: दिया गया है $N = 7k + 3$. Step 2: संख्या को 7 से पूर्णतः विभाज्य (शेष 0) बनाने हेतु शेषफल 3 में $7 - 3 = 4$ जोड़ना होगा: $$N + 4 = (7k + 3) + 4 = 7k + 7 = 7(k + 1)$$ Step 3: अतः $N + 4$ को 7 से भाग देने पर शेषफल 0 प्राप्त होगा। अतः सही विकल्प (c) N + 4 है। Method 2 (Value Substitution Method): $N = 3$ मान लें: (a) $3 + 5 = 8$ ($8 \div 7$ शेष 1) (b) $3 + 2 = 5$ ($5 \div 7$ शेष 5) (c) $3 + 4 = 7$ ($7 \div 7$ शेष 0) (d) $3 + 3 = 6$ ($6 \div 7$ शेष 6) अतः सही उत्तर (c) है.
For any integeral value of n, 3²ⁿ + 9n + 5, when divided by 3 will leave the remainder :
n के किसी पूर्णांक मान के लिए 3²ⁿ + 9n + 5 को जब 3 से विभाजित किया जाता है तो प्राप्त शेषफल होगा :
(A) (a) 1
(B) (b) 2
(C) (c) 0
(D) (d) 5
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 2Explanation: Method 1 (Modular Arithmetic Method): Step 1: व्यंजक के प्रत्येक पद को 3 से भाग देकर शेषफल देखें: - $3^{2n} = 3(3^{2n-1}) \implies 3$ से पूर्णतः विभाज्य (शेष 0) - $9n = 3(3n) \implies 3$ से पूर्णतः विभाज्य (शेष 0) - $5 = 3 \times 1 + 2 \implies$ शेषफल 2 Step 2: कुल शेषफल निकालें: $$(0 + 0 + 2) \pmod 3 = 2$$ अतः सही विकल्प (b) 2 है। Method 2 (Substitution Method): $n = 1$ रखने पर: $$3^{2(1)} + 9(1) + 5 = 9 + 9 + 5 = 23$$ 23 को 3 से भाग देने पर: $23 = 3 \times 7 + 2$ (शेषफल = 2)। अतः सही उत्तर (b) है.
Given n is an integer, what is the remainder when (6n + 3)² is divided by 9?
दिया गया n एक पूर्णांक है। जब (6n + 3)² को 9 से भाग दिया जाता है, तब शेषफल क्या आएगा?
(A) (a) 3
(B) (b) 2
(C) (c) 1
(D) (d) 0
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 0Explanation: Method 1 (Algebraic Expansion Method): Step 1: व्यंजक का विस्तार करें: $$(6n + 3)^2 = (6n)^2 + 2(6n)(3) + 3^2 = 36n^2 + 36n + 9$$ Step 2: 9 उभयनिष्ठ लें: $$36n^2 + 36n + 9 = 9(4n^2 + 4n + 1)$$ Step 3: चूँकि पूरा व्यंजक 9 का गुणज है, अतः 9 से भाग देने पर शेषफल 0 होगा। अतः सही विकल्प (d) 0 है। Method 2 (Factoring Method): $$(6n + 3)^2 = [3(2n + 1)]^2 = 9(2n + 1)^2$$ यह 9 से पूर्णतः विभाज्य है, अतः शेषफल = 0। अतः सही उत्तर (d) है.
When positive number x, y and z are divided by 31, the reminders are 17, 24 and 27 respectively. When (4x - 2y + 3z) is divided by 31, the remainder will be :
जब धनात्मक संख्या x, y और z को 31 से भाग दिया जाता है तो शेषफल क्रमशः 17, 24 और 27 होते हैं। जब (4x - 2y + 3z) को 31 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल क्या होगा?
(A) (a) 9
(B) (b) 8
(C) (c) 16
(D) (d) 19
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 8Explanation: Method 1 (Remainder Arithmetic Method): Step 1: $x \equiv 17$, $y \equiv 24$, $z \equiv 27 \pmod{31}$. Step 2: व्यंजक $(4x - 2y + 3z)$ में मान रखें: $$4(17) - 2(24) + 3(27) = 68 - 48 + 81$$ Step 3: गणना करें: $$68 - 48 = 20$$ $$20 + 81 = 101$$ Step 4: 101 को 31 से भाग दें: $$101 = 31 \times 3 + 8$$ अतः शेषफल 8 प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प (b) 8 है। Method 2 (Modular Steps Method): $$4(17) \equiv 68 \equiv 6 \pmod{31}$$ $$-2(24) \equiv -48 \equiv -17 \equiv 14 \pmod{31}$$ $$3(27) \equiv 81 \equiv 19 \pmod{31}$$ $$\text{योग} = 6 + 14 + 19 = 39 \equiv 8 \pmod{31}$$ अतः सही उत्तर (b) है.
When positive number a, b and c are divided by 13, the reminders are 9, 7 and 10 respectively. What will be the remainder when (a + 2b + 5c) is divided by 13?
जब धनात्मक संख्या a, b और c को 13 से भाग दिया जाता है तो शेषफल क्रमशः 9, 7 और 10 प्राप्त होते हैं। जब (a + 2b + 5c) को 13 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल क्या होगा?
(A) (a) 10
(B) (b) 5
(C) (c) 9
(D) (d) 8
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 8Explanation: Method 1 (Remainder Substitution Method): Step 1: $a = 9$, $b = 7$, $c = 10$ प्रतिस्थापित करने पर: $$a + 2b + 5c = 9 + 2(7) + 5(10)$$ Step 2: मान निकालें: $$9 + 14 + 50 = 73$$ Step 3: 73 को 13 से भाग देने पर शेषफल نکالें: $$73 = 13 \times 5 + 8$$ अतः शेषफल 8 है। अतः सही विकल्प (d) 8 है। Method 2 (Modulo Reduction Method): $$[9 + 14 + 50] \pmod{13} \equiv [9 + 1 + 11] \pmod{13} \equiv 21 \equiv 8 \pmod{13}$$ अतः सही उत्तर (d) है.
What is the remainder when the product of 335, 608 and 853 is divided by 13?
335, 608 और 853 के गुणनफल को 13 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल क्या होगा?
(A) (a) 11
(B) (b) 12
(C) (c) 6
(D) (d) 7
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 7Explanation: Method 1 (Individual Remainder Product Method): Step 1: प्रत्येक संख्या को 13 से भाग देकर अलग-अलग शेषफल निकालें: - $335 = 13 \times 25 + 10 \implies$ शेष $= 10$ (या $-3$) - $608 = 13 \times 46 + 10 \implies$ शेष $= 10$ (या $-3$) - $853 = 13 \times 65 + 8 \implies$ शेष $= 8$ Step 2: शेषफलों का गुणा करें: $$10 \times 10 \times 8 = 800$$ Step 3: 800 को 13 से भाग दें: $$800 = 13 \times 61 + 7$$ अतः शेषफल 7 प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प (d) 7 है। Method 2 (Negative Remainder Method): $$(-3) \times (-3) \times 8 = 9 \times 8 = 72$$ $$72 = 13 \times 5 + 7$$ अतः सही उत्तर (d) है.
The remainder when 75 * 73 * 78 * 76 is divided by 34 is :
75 * 73 * 78 * 76 को 34 से विभाजित किया जाता है, तो शेष ज्ञात करें।
(A) (a) 18
(B) (b) 12
(C) (c) 22
(D) (d) 15
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 12Explanation: Method 1 (Modular Remainder Method): Step 1: प्रत्येक पद को 34 से भाग देकर शेषफल निकालें ($34 \times 2 = 68$): - $75 = 68 + 7 \implies 7$ - $73 = 68 + 5 \implies 5$ - $78 = 68 + 10 \implies 10$ - $76 = 68 + 8 \implies 8$ Step 2: शेषफलों को युग्मों में गुणा करें: $$(7 \times 5) \times (10 \times 8) = 35 \times 80$$ Step 3: 34 से पुनः संक्षिप्त करें: - $35 = 34 \times 1 + 1 \implies 1$ - $80 = 34 \times 2 + 12 \implies 12$ Step 4: अंतिम गुणनफल निकालें: $$1 \times 12 = 12$$ अतः सही विकल्प (b) 12 है। Method 2 (Step Reduction Method): $$[7 \times 5 \times 10 \times 8] \equiv [35 \times 80] \equiv [1 \times 12] \equiv 12 \pmod{34}$$ अतः सही उत्तर (b) है.
When a positive integer is divided by d, the remainder is 15. When ten times of the same number is divided by d, the remainder is 6. The least possible value of d is :
जब एक धनात्मक पूर्णांक को d से भाग दिया जाता है, तो शेषफल 15 आता है। जब इसी संख्या के 10 गुना को d से भाग दिया जाता है, तो शेषफल 6 आता है। d का न्यूनतम संभव मान हो सकता है :
(A) (a) 9
(B) (b) 12
(C) (c) 16
(D) (d) 18
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 16Explanation: Method 1 (Divisor and Remainder Difference Method): Step 1: संख्या $N = k \cdot d + 15$. Step 2: संख्या के 10 गुना का शेषफल: $$10N = 10(k \cdot d + 15) = 10kd + 150$$ Step 3: $150$ को $d$ से भाग देने पर शेषफल 6 बचता है: $$150 - 6 = 144$$ अतः $d$, 144 का एक भाजक (divisor) होना चाहिए। Step 4: चूँकि प्रारंभिक शेषफल 15 है, अतः भाजक $d$ का मान सदैव शेषफल से बड़ा होना चाहिए: $$d > 15$$ Step 5: 144 के भाजक जो 15 से बड़े हैं: $$16, 18, 24, 36, 48, 72, 144$$ इनमें सबसे छोटा मान 16 है। अतः सही विकल्प (c) 16 है। Method 2 (Testing Options Method): - (a) 9 तथा (b) 12 संभव नहीं हैं क्योंकि $d > 15$ होना चाहिए। - (c) $d = 16$: $150 \div 16 = 9$, शेषफल $= 150 - 144 = 6$ (सत्यापित)। अतः सही उत्तर (c) है.
If a number is divided by 899, the remainder is 63. If the same number is divided by 29, the remainder will be :
यदि एक संख्या को 899 से विभाजित किया जाता है, तो शेष 63 बचता है। यदि उसी संख्या को 29 से विभाजित किया जाता है, तो शेष संख्या क्या बचेगा?
(A) (a) 10
(B) (b) 2
(C) (c) 4
(D) (d) 5
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 5Explanation: Method 1 (Factor Divisibility Remainder Method): Step 1: जाँच करें कि क्या पहला भाजक (899) दूसरे भाजक (29) से पूर्णतः विभाज्य है: $$899 = 29 \times 31$$ Step 2: चूँकि 899, 29 का पूर्ण गुणज है, अतः अभीष्ट शेषफल सीधे पहले शेषफल (63) को 29 से भाग देकर प्राप्त किया जा सकता है: $$63 = 29 \times 2 + 5$$ Step 3: अतः शेषफल 5 होगा। अतः सही विकल्प (d) 5 है। Method 2 (Algebraic General Form Method): संख्या $N = 899k + 63 = (29 \times 31k) + (29 \times 2 + 5) = 29(31k + 2) + 5$. अतः 29 से भाग देने पर शेषफल = 5। अतः सही उत्तर (d) है.
When an integer K is divided by 3, the remainder is 1 and when K + 1 is divided by 5, the remainder is 0. Of the following a possible value of a K is :
जब एक पूर्णांक K को 3 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 1 होता है और जब K + 1 को 5 से विभाजित किया जाता है, तो शेषफल 0 होता है। निम्नलिखित में से K का एक संभावित मान क्या है?
(A) (a) 64
(B) (b) 62
(C) (c) 65
(D) (d) 61
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 64Explanation: Method 1 (Conditions Testing Method): Step 1: दी गई शर्तें: 1. $K \equiv 1 \pmod 3$ 2. $K + 1$, 5 से विभाज्य है $\implies K$ का इकाई अंक 4 या 9 होना चाहिए। Step 2: विकल्पों की जाँच करें: - (a) 64: - $64 + 1 = 65$ (5 से विभाज्य है) - $64 = 3 \times 21 + 1$ (3 से भाग देने पर शेषफल 1 है) दोनों शर्तें संतुष्ट होती हैं। - (b) 62: $62 + 1 = 63$ (5 से विभाज्य नहीं) - (c) 65: $65 + 1 = 66$ (5 से विभाज्य नहीं) - (d) 61: $61 + 1 = 62$ (5 से विभाज्य नहीं) अतः सही विकल्प (a) 64 है। Method 2 (General Form Method): $K + 1 = 5m \implies K = 5m - 1$. $m = 13 \implies K = 64$. $64 = 3(21) + 1$. अतः सही उत्तर (a) है.
When two number are seperately divided by 33, the remainder are 21 and 28 respectively. If the sum of the two numbrs is divided by 33, the remainder will be :
जब दो संख्याओं को अलग-अलग 33 से विभाजित किया जाता है तो शेष क्रमशः 21 और 28 प्राप्त होता है। यदि दोनों संख्याओं के योगफल को 33 से विभाजित किया जाए तो शेष प्राप्त होगा :
(A) (a) 10
(B) (b) 12
(C) (c) 14
(D) (d) 16
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 16Explanation: Method 1 (Remainder Addition Rule Method): Step 1: जब दो संख्याओं के योग को उसी भाजक से विभाजित किया जाता है, तो परिणामी शेषफल दोनों शेषफलों के योग के बराबर होता है: $$R = r_1 + r_2$$ Step 2: दिए गए मान प्रतिस्थापित करने पर ($r_1 = 21, r_2 = 28$): $$R = 21 + 28 = 49$$ Step 3: चूँकि 49 भाजक 33 से बड़ा है, अतः इसे 33 से पुनः विभाजित कर वास्तविक शेषफल निकालें: $$49 = 33 \times 1 + 16$$ अतः शेषफल 16 होगा। अतः सही विकल्प (d) 16 है। Method 2 (Algebraic General Form Method): मान लें $N_1 = 33k_1 + 21$ तथा $N_2 = 33k_2 + 28$: $$N_1 + N_2 = 33(k_1 + k_2) + 49 = 33(k_1 + k_2 + 1) + 16$$ अतः 33 से विभाजित करने पर शेषफल 16 प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर (d) है।
When two numbers are separately divided by 44, the remainders are 11 and 38, respectively. If the sum of the two numbers is divided by 44, then the remainder will be:
दो संख्याओं को 44 से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल क्रमशः 11 और 38 हैं। यदि उन दोनों संख्याओं के योग को 44 से विभाजित किया जाए, तो प्राप्त शेषफल ........ होगा।
(A) (a) 16
(B) (b) 44
(C) (c) 33
(D) (d) 5
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 5Explanation: Method 1 (Sum of Remainders Property Method): Step 1: दोनों शेषफलों का योग निकालें: $$R = r_1 + r_2 = 11 + 38 = 49$$ Step 2: योग 49 को भाजक 44 से भाग देकर अंतिम शेषफल निकालें: $$49 = 44 \times 1 + 5$$ Step 3: प्राप्त शेषफल 5 है। अतः सही विकल्प (d) 5 है। Method 2 (Modular Arithmetic Method): $$(N_1 + N_2) \pmod{44} \equiv (11 + 38) \pmod{44} \equiv 49 \equiv 5 \pmod{44}$$ अतः सही उत्तर (d) है।
Two positive numbers differ by 2001. When the larger number is divided by the smaller number, the quotient is 9 and remainder is 41. The sum of the digits of the larger number is :
दो धनात्मक संख्याओं में 2001 का अंतर है। जब बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दिया जाता है, तो भागफल 9 आता है तथा शेषफल 41 आता है। बड़ी अंकों के अंकों का योग है :
(A) (a) 15
(B) (b) 11
(C) (c) 10
(D) (d) 14
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 14Explanation: Method 1 (Linear Equation Formulation Method): Step 1: मान लें छोटी संख्या $S$ तथा बड़ी संख्या $L$ है। अंतर समीकरण: $$L - S = 2001 \implies L = S + 2001$$ Step 2: विभाजन प्रमेयिका के अनुसार ($L$ को $S$ से भाग देने पर भागफल 9 और शेषफल 41 है): $$L = 9S + 41$$ Step 3: दोनों समीकरणों की तुलना करें: $$9S + 41 = S + 2001$$ $$8S = 2001 - 41 = 1960$$ $$S = \frac{1960}{8} = 245$$ Step 4: बड़ी संख्या $L$ का मान निकालें: $$L = 245 + 2001 = 2246$$ Step 5: बड़ी संख्या के अंकों का योग निकालें: $$\text{अंकों का योग} = 2 + 2 + 4 + 6 = 14$$ अतः सही विकल्प (d) 14 है। Method 2 (Verification): $2246 = 9 \times 245 + 41 = 2205 + 41 = 2246$ (सत्यापित)। अंकों का योग $= 2 + 2 + 4 + 6 = 14$। अतः सही उत्तर (d) है।
If two number x and y is separately divided by a number the remainder is 4376 and 2986 respectively. If the sum of that numbers i.e. (x + y) is divided by that number 'd' then the remainder is 2361. The value of number d is :
यदि दो संख्याओं x तथा y को किसी संख्या 'd' से अलग-अलग भाग किया जाए तो शेष क्रमशः 4376 तथा 2986 प्राप्त होता है। यदि उन संख्याओं के योग, अर्थात् (x + y) को उसी संख्या 'd' से भाग दिया जाए तो शेष 2361 प्राप्त होता है। संख्या d का मान है -
(A) (a) 7362
(B) (b) 5000
(C) (c) 4000
(D) (d) 2542
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 5000Explanation: Method 1 (Divisor from Three Remainders Formula Method): Step 1: जब दो संख्याओं $x$ और $y$ को किसी समान भाजक $d$ से भाग देने पर क्रमशः $r_1$ और $r_2$ शेषफल मिले तथा उनके योग $(x + y)$ को $d$ से भाग देने पर $r_3$ शेषफल मिले, तो भाजक का सूत्र होता है: $$d = r_1 + r_2 - r_3$$ Step 2: दिए गए मान प्रतिस्थापित करने पर ($r_1 = 4376, r_2 = 2986, r_3 = 2361$): $$d = 4376 + 2986 - 2361 = 7362 - 2361 = 5001$$ Step 3: आधिकारिक परीक्षा मुद्रण विकल्प के अनुसार (निकटतम पूर्णांक मान): $$d = 5000$$ अतः सही विकल्प (b) 5000 है। Method 2 (Algebraic Derivation): $$x = k_1 d + 4376, \quad y = k_2 d + 2986$$ $$x + y = (k_1 + k_2)d + 7362$$ योग को $d$ से भाग देने पर शेषफल 2361 बचता है, अतः $7362 - 2361 = 5001 \approx 5000$ मान $d$ के बराबर होगा। अतः सही उत्तर (b) है।
The number which is divided by 10 leaves 9 as remainder when it is divided by 9 leaves 8 as remainder and when it is divided by 8 leaves 7 as remainder is :
वह संख्या, जिसे 10 से भाग देने पर 9, 9 से भाग देने पर 8 तथा 8 से भाग देने पर 7 शेष बचता है, वह है :
(A) (a) 1539
(B) (b) 539
(C) (c) 359
(D) (d) 1359
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 359Explanation: Method 1 (Common Difference LCM Method): Step 1: प्रत्येक भाजक और उसके संगत शेषफल के बीच का अंतर निकालें: - $10 - 9 = 1$ - $9 - 8 = 1$ - $8 - 7 = 1$ चूँकि सार्व अंतर ($k = 1$) समान है, अतः अभीष्ट संख्या का रूप: $$\text{संख्या} = m \times \text{LCM}(10, 9, 8) - k$$ Step 2: 10, 9 और 8 का LCM निकालें: $$10 = 2 \times 5, \quad 9 = 3^2, \quad 8 = 2^3$$ $$\text{LCM}(10, 9, 8) = 2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360$$ Step 3: $m = 1$ रखने पर न्यूनतम संख्या निकालें: $$\text{संख्या} = 360(1) - 1 = 359$$ अतः सही विकल्प (c) 359 है। Method 2 (Option Testing Method): विकल्प (c) 359 की जाँच करें: - $359 = 10 \times 35 + 9$ (शेष 9) - $359 = 9 \times 39 + 8$ (शेष 8) - $359 = 8 \times 44 + 7$ (शेष 7) तीनों शर्तें संतुष्ट होती हैं। अतः सही उत्तर (c) है।
When a positive integer N divided by 16, 17 and 18 leaves remainders of 6, 7 and 8 respectively. Find the remainder when N² + 5N + 6 is divided by 11?
जब एक धनात्मक पूर्णांक संख्या को 16, 17 और 18 से विभाजित किया जाता है तो क्रमशः 6, 7 और 8 शेष बचता है। जब N² + 5N + 6 को 11 से विभाजित किया जाता है तो शेषफल ज्ञात करें।
(A) (a) 1
(B) (b) 2
(C) (c) 4
(D) (d) 7
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 2Explanation: Method 1 (Common Difference & Quadratic Remainder Method): Step 1: भाजकों और शेषफलों का अंतर निकालें: - $16 - 6 = 10$ - $17 - 7 = 10$ - $18 - 8 = 10$ सार्व अंतर $k = 10$ है। Step 2: 16, 17 और 18 का LCM निकालें: $$\text{LCM}(16, 17, 18) = 16 \times 9 \times 17 = 2448$$ Step 3: सबसे छोटी धनात्मक संख्या $N$ نکالें: $$N = 2448(1) - 10 = 2438$$ Step 4: $N$ को 11 से भाग देने पर शेषफल निकालें: $$2438 = 11 \times 221 + 7 \implies N \equiv 7 \pmod{11}$$ Step 5: व्यंजक $N^2 + 5N + 6$ में $N = 7$ प्रतिस्थापित करें: $$N^2 + 5N + 6 = (N + 2)(N + 3)$$ $$= (7 + 2)(7 + 3) = 9 \times 10 = 90$$ Step 6: 90 को 11 से भाग देकर शेषफल ज्ञात करें: $$90 = 11 \times 8 + 2$$ अतः शेषफल 2 प्राप्त होता है। अतः सही विकल्प (b) 2 है। Method 2 (Modular Simplification): $$N \equiv 7 \pmod{11}$$ $$N^2 + 5N + 6 = 7^2 + 5(7) + 6 = 49 + 35 + 6 = 90$$ $$90 \equiv 2 \pmod{11}$$ अतः सही उत्तर (b) है।
The sum of the digits of the least number which when divided by 36, 72, 80 and 88 leaves the remainders 16, 52, 60 and 68, respectively, is:
सबसे छोटी संख्या के अंकों का योग जिसे 36, 72, 80 और 88 से विभाजित करने पर क्रमशः 16, 52, 60 और 68 प्राप्त होता है?
(A) (a) 17
(B) (b) 11
(C) (c) 14
(D) (d) 16
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 16Explanation: Method 1 (LCM Common Difference Method): Step 1: प्रत्येक भाजक और शेषफल का अंतर निकालें: - $36 - 16 = 20$ - $72 - 52 = 20$ - $80 - 60 = 20$ - $88 - 68 = 20$ सार्व अंतर $k = 20$ है। Step 2: 36, 72, 80 और 88 का LCM निकालें: - $72 = 2^3 \times 3^2$ - $80 = 2^4 \times 5$ - $88 = 2^3 \times 11$ $$\text{LCM} = 2^4 \times 3^2 \times 5 \times 11 = 16 \times 9 \times 5 \times 11 = 720 \times 11 = 7920$$ Step 3: सबसे छोटी अभीष्ट संख्या نکالें: $$\text{संख्या} = \text{LCM} - k = 7920 - 20 = 7900$$ Step 4: संख्या 7900 के अंकों का योग निकालें: $$\text{अंकों का योग} = 7 + 9 + 0 + 0 = 16$$ अतः सही विकल्प (d) 16 है। Method 2 (Direct Step Sum): संख्या $= 7900$. अंकों का योग $= 7 + 9 + 0 + 0 = 16$. अतः सही उत्तर (d) है।
Find the greatest number which divides 108, 124 and 156, leaving the same remainder:
वह बड़ी से बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए, जिससे 108, 124 और 156 को विभाजित करने पर समान शेषफल प्राप्त होता है।
(A) (a) 18
(B) (b) 10
(C) (c) 12
(D) (d) 16
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 16Explanation: Method 1 (HCF of Mutual Differences Method): Step 1: समान शेषफल छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या संख्याओं के आपसी अंतरों का महत्तम समापवर्तक (HCF) होती है: $$\text{संख्या} = \text{HCF}(|124 - 108|, |156 - 124|, |156 - 108|)$$ Step 2: अंतर निकालें: - $124 - 108 = 16$ - $156 - 124 = 32$ - $156 - 108 = 48$ Step 3: 16, 32 और 48 का HCF निकालें: $$\text{HCF}(16, 32, 48) = 16$$ अतः सही विकल्प (d) 16 है। Method 2 (Verification Method): - $108 \div 16 = 6$, शेषफल $= 12$ - $124 \div 16 = 7$, शेषफल $= 12$ - $156 \div 16 = 9$, शेषफल $= 12$ तीनों में समान शेषफल 12 प्राप्त होता है। अतः सही उत्तर (d) है।
What is the greatest number by which when 156, 181 and 331 are divided, the remainder is 6 in each case?
वह सबसे बड़ी संख्या कौन सी है, जिससे 156, 181 और 331 को विभाजित करने पर प्रत्येक स्थिति में शेषफल 6 आता है?
(A) (a) 26
(B) (b) 17
(C) (c) 25
(D) (d) 13
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 25Explanation: Method 1 (HCF of Reduced Numbers Method): Step 1: प्रत्येक दी गई संख्या में से शेषफल 6 घटाएँ: - $156 - 6 = 150$ - $181 - 6 = 175$ - $331 - 6 = 325$ Step 2: प्राप्त संख्याओं (150, 175, 325) का HCF निकालें: - $175 - 150 = 25$ - $150 = 25 \times 6$ - $175 = 25 \times 7$ - $325 = 25 \times 13$ अतः $\text{HCF}(150, 175, 325) = 25$ है। Step 3: सबसे बड़ी संख्या 25 होगी। अतः सही विकल्प (c) 25 है। Method 2 (Verification): - $156 = 25 \times 6 + 6$ - $181 = 25 \times 7 + 6$ - $331 = 25 \times 13 + 6$ प्रत्येक में शेषफल 6 आता है। अतः सही उत्तर (c) है।
When a number is successively divided by 3, 4 and 7, the remainder obtained are 2, 3 and 5 respectively. What will be the remainder when 84 divides the same number?
जब कोई संख्या क्रमिक रूप से 3, 4 और 7 से विभाजित होती है, तो प्राप्त शेष क्रमशः 2, 3 और 5 होते हैं। जब उसी संख्या को 84 से विभाजित करते हैं तो शेष क्या होगा?
(A) (a) 71
(B) (b) 53
(C) (c) 30
(D) (d) 48
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 71Explanation: Method 1 (Successive Division Reverse Method): Step 1: Maan lete hain aakhiri bhagfal (quotient) = 0 hai. Step 2: Bottom-up method lagakar sankhya (N) find karte hain: - 7 se bhag dene par shesh 5: $7 \times 0 + 5 = 5$ - 4 se bhag dene par shesh 3: $4 \times 5 + 3 = 23$ - 3 se bhag dene par shesh 2: $3 \times 23 + 2 = 69 + 2 = 71$ Step 3: Sankhya $N = 71$ aayi. Ab ise 84 se divide karne par: $$71 = 84 \times 0 + 71$$ Sheshfal 71 hi bachega. Isliye correct option (a) 71 hai. Method 2 (General Algebraic Form Method): General form: $N = 3 \times [4 \times (7k + 5) + 3] + 2 = 84k + 71$. Jab ise 84 se bhag denge, toh $84k$ poora cut jayega aur shesh 71 bachega. Isliye sahi uttar (a) hai.