Mathematics: Numbersystem Unitdigit ke liye free mock test: 32 questions, timer, negative marking aur explanation ke saath. Koi login nahi, koi payment nahi — turant shuru karein.
Mathematics: Numbersystem Unitdigit ke liye ye 32 questions ka practice set General Knowledge pattern par banaya gaya hai. Test me 45 second per question ka timer hai aur har galat answer par 0.25 marks kate jaate hain — bilkul asli exam jaisa. Submit karne ke baad aapko exact score, accuracy aur har question ka explanation milta hai. Bihar ke competitive exams (BPSC, BSSC, Bihar Police, BTSC) ki tayari karne wale students ke liye.
Neeche is set ke kuch questions hain — inhi par aapka timed test banega. Answer dekhne ke liye “Answer” par click karein.
The digit in unit's place of the product 49237 * 3995 * 738 * 83 * 9 is :
निम्नलिखित गुणनफल का इकाई अंक ज्ञात करें। 49237 * 3995 * 738 * 83 * 9 :
(A) (a) 0
(B) (b) 7
(C) (c) 6
(D) (d) 8
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 0Explanation: Method 1 (Pairing 5 and Even Number Method): Step 1: दी गई संख्याओं के इकाई अंक निकालें: $$7, 5, 8, 3, 9$$ Step 2: किसी भी गुणनफल में जब 5 का गुणा किसी सम संख्या (Even number) से होता है, तो परिणामी इकाई अंक हमेशा 0 बनता है: $$5 \times 8 = 40 \implies \text{इकाई अंक} = 0$$ Step 3: 0 का गुणा किसी भी अन्य संख्या से करने पर इकाई अंक 0 ही रहता है: $$0 \times (7 \times 3 \times 9) = 0$$ अतः सही विकल्प (a) 0 है। Method 2 (Sequential Multiplication Method): $$7 \times 5 = 35 \to 5$$ $$5 \times 8 = 40 \to 0$$ $$0 \times 3 = 0$$ $$0 \times 9 = 0$$ अतः सही उत्तर (a) है।
The unit digit in 3 * 38 * 537 * 1256 is :
3 * 38 * 537 * 1256 का इकाई अंक ज्ञात करें।
(A) (a) 4
(B) (b) 2
(C) (c) 6
(D) (d) 8
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 8Explanation: Method 1 (Unit Digits Product Method): Step 1: केवल इकाई अंकों को अलग करें: $$3, 8, 7, 6$$ Step 2: क्रमिक गुणा करें: $$3 \times 8 = 24 \implies \text{इकाई अंक} = 4$$ $$4 \times 7 = 28 \implies \text{इकाई अंक} = 8$$ $$8 \times 6 = 48 \implies \text{इकाई अंक} = 8$$ Step 3: अतः पूरे गुणनफल का अंतिम इकाई अंक 8 है। अतः सही विकल्प (d) 8 है। Method 2 (Pairing Method): $$(3 \times 8) \times (7 \times 6) = 24 \times 42$$ इकाई अंक = $4 \times 2 = 8$. अतः सही उत्तर (d) है।
The digit in unit's place of the product 81 * 82 * 83 * ......... * 89 is :
गुणनफल 81 * 82 * 83 * ......... * 89 के इकाई स्थान का अंक है :
(A) (a) 0
(B) (b) 2
(C) (c) 6
(D) (d) 8
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 0Explanation: Method 1 (Zero Generation by 2 and 5 Method): Step 1: दी गई श्रेणी में संख्याएँ सम्मिलित हैं: $$81 \times 82 \times 83 \times 84 \times 85 \times \dots \times 89$$ Step 2: श्रेणी में 82 (इकाई अंक 2) और 85 (इकाई अंक 5) दोनों उपस्थित हैं: $$2 \times 5 = 10$$ Step 3: एक बार इकाई अंक पर 0 आने के बाद आगे किसी भी संख्या से गुणा करने पर इकाई स्थान सदैव 0 ही रहता है। अतः सही विकल्प (a) 0 है। Method 2 (Inspection Method): गुणनफल में 10 का गुणज शामिल है ($82 \times 85 = 6970$), अतः अंतिम अंक 0 होगा। अतः सही उत्तर (a) है।
Find the unit digit of the product of all the odd prime number.
सभी विषम अभाज्य संख्याओं के गुणनफल का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।
(A) (a) 0
(B) (b) 1
(C) (c) 2
(D) (d) 5
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 5Explanation: Method 1 (Odd Prime Property Method): Step 1: विषम अभाज्य संख्याएँ (Odd prime numbers): $$3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, \dots$$ Step 2: ध्यान दें कि इस श्रेणी में 2 (एकमात्र सम अभाज्य संख्या) सम्मिलित नहीं है। Step 3: 5 का गुणा किसी भी विषम संख्या (Odd number) से करने पर परिणाम का इकाई अंक सदैव 5 होता है: $$5 \times (\text{विषम संख्या}) = \dots 5$$ Step 4: अतः सभी विषम अभाज्य संख्याओं के गुणनफल का इकाई अंक 5 होगा। अतः सही विकल्प (d) 5 है। Method 2 (Step Verification): $3 \times 5 = 15 \to 5$, $5 \times 7 = 35 \to 5$, $5 \times 11 = 55 \to 5$. अतः सही उत्तर (d) है।
Find the unit digit of the product of all the prime number.
सभी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।
(A) (a) 0
(B) (b) 1
(C) (c) 2
(D) (d) 5
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 0Explanation: Method 1 (All Primes Product Method): Step 1: अभाज्य संख्याओं की सूची: $$2, 3, 5, 7, 11, 13, \dots$$ Step 2: इस सूची में 2 और 5 दोनों उपस्थित हैं: $$2 \times 5 = 10$$ Step 3: 10 का कोई भी गुणज शून्य (0) पर समाप्त होता है। अतः सभी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल का इकाई अंक 0 है। अतः सही विकल्प (a) 0 है। Method 2 (Factor of 10 Method): चूँकि 10 गुणनफल का एक सार्व गुणनखंड है, अतः इकाई अंक = 0। अतः सही उत्तर (a) है।
The digit in unit place of the number (1570)² + (1571)² + (1572)² + (1573)² is :
परिणामी संख्या में इकाई अंक ज्ञात करें। (1570)² + (1571)² + (1572)² + (1573)² :
(A) (a) 1
(B) (b) 2
(C) (c) 3
(D) (d) 4
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 4Explanation: Method 1 (Sum of Squares of Unit Digits Method): Step 1: प्रत्येक पद का केवल इकाई अंक लें: - $(1570)^2 \implies 0^2 = 0$ - $(1571)^2 \implies 1^2 = 1$ - $(1572)^2 \implies 2^2 = 4$ - $(1573)^2 \implies 3^2 = 9$ Step 2: प्राप्त इकाई अंकों को जोड़ें: $$0 + 1 + 4 + 9 = 14$$ Step 3: योग 14 का इकाई अंक 4 है। अतः सही विकल्प (d) 4 है। Method 2 (Direct Addition): इकाई अंक = $(0 + 1 + 4 + 9) \pmod{10} = 14 \pmod{10} = 4$. अतः सही उत्तर (d) है।
The units digit of the expression 25⁶²⁵¹ + 36⁵²⁸ + 73⁵⁴ is :
परिणामी संख्या में इकाई अंक ज्ञात करें। 25⁶²⁵¹ + 36⁵²⁸ + 73⁵⁴ :
(A) (a) 6
(B) (b) 5
(C) (c) 4
(D) (d) 0
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 0Explanation: Method 1 (Cyclicity Method): Step 1: प्रत्येक पद का इकाई अंक निकालें: - $25^{6251}$: 5 की किसी भी धनात्मक घात का इकाई अंक हमेशा $5$ होता है। - $36^{528}$: 6 की किसी भी धनात्मक घात का इकाई अंक हमेशा $6$ होता है। - $73^{54}$: आधार का इकाई अंक 3 है (3 की चक्रियता 4 होती है): घात $54$ को 4 से भाग देने पर शेषफल निकालें: $$54 = 4 \times 13 + 2 \implies \text{शेषफल} = 2$$ $$3^2 = 9$$ अतः $73^{54}$ का इकाई अंक $9$ है। Step 2: सभी इकाई अंकों को जोड़ें: $$\text{कुल योग} = 5 + 6 + 9 = 20$$ Step 3: योग का इकाई अंक 0 है। अतः सही विकल्प (d) 0 है। Method 2 (Modular Arithmetic Method): $$(5 + 6 + 3^2) \pmod{10} = (11 + 9) \pmod{10} = 20 \pmod{10} = 0$$ अतः सही उत्तर (d) है।
Find the units digit of 43⁴⁶.
43⁴⁶ का इकाई अंक ज्ञात करें।
(A) (a) 7
(B) (b) 9
(C) (c) 0
(D) (d) 6
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 9Explanation: Method 1 (Cyclicity of 3 Method): Step 1: आधार 43 का इकाई अंक 3 है। 3 की घातों की चक्रियता (Cyclicity) 4 होती है: $$3^1 = 3, \quad 3^2 = 9, \quad 3^3 = 7, \quad 3^4 = 1$$ Step 2: घात 46 को 4 से भाग दें: $$46 = 4 \times 11 + 2 \implies \text{शेषफल} = 2$$ Step 3: इकाई अंक $3^{\text{शेषफल}} = 3^2$ होगा: $$3^2 = 9$$ अतः सही विकल्प (b) 9 है। Method 2 (Power Remainder Method): $$43^{46} \equiv 3^{46} \equiv 3^{4(11) + 2} \equiv (3^4)^{11} \times 3^2 \equiv (1)^{11} \times 9 \equiv 9 \pmod{10}$$ अतः सही उत्तर (b) है।
Find the units digit of 43⁴³ - 28²⁸.
43⁴³ - 28²⁸ का इकाई अंक ज्ञात करें।
(A) (a) 1
(B) (b) 2
(C) (c) 3
(D) (d) 4
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 1Explanation: Method 1 (Separate Cyclicity Evaluation Method): Step 1: पहले पद $43^{43}$ का इकाई अंक निकालें: - आधार का इकाई अंक 3 है। - घात: $43 \div 4 \implies$ शेषफल $= 3$ - इकाई अंक $= 3^3 = 27 \implies 7$ Step 2: दूसरे पद $28^{28}$ का इकाई अंक निकालें: - आधार का इकाई अंक 8 है (8 की चक्रियता 4 होती है)। - घात: $28 \div 4 \implies$ शेषफल $= 0$ (अर्थात चतुर्थ घात $8^4$) - $8^4 = 4096 \implies 6$ Step 3: अंतर निकालें: $$\text{इकाई अंक} = 7 - 6 = 1$$ अतः सही विकल्प (a) 1 है। Method 2 (Direct Modular Subtraction): $$3^3 - 8^4 = 7 - 6 = 1$$ अतः सही उत्तर (a) है।
Let x = (633)²³ - (277)³⁸ + (266)⁵⁴, what is the unit digit of x?
यदि x = (633)²³ - (277)³⁸ + (266)⁵⁴ है, तो x का इकाई अंक क्या है?
(A) (a) 7
(B) (b) 6
(C) (c) 4
(D) (d) 8
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 4Explanation: Method 1 (Step-by-Step Cyclicity Method): Step 1: प्रत्येक पद का इकाई अंक ज्ञात करें: - $(633)^{23}$: $23 \div 4 \implies$ शेषफल $= 3 \implies 3^3 = 27 \to 7$ - $(277)^{38}$: $38 \div 4 \implies$ शेषफल $= 2 \implies 7^2 = 49 \to 9$ - $(266)^{54}$: 6 की किसी भी घात का इकाई अंक हमेशा $6$ होता है। Step 2: व्यंजक में मान रखने पर: $$x = 7 - 9 + 6$$ Step 3: धनात्मक मानों को पहले जोड़ें: $$x = (7 + 6) - 9 = 13 - 9 = 4$$ अतः सही विकल्प (c) 4 है। Method 2 (Borrow Method for Negative Units): $$7 - 9 = -2$$ ऋणात्मक आने पर 10 जोड़ें (उधार लेने पर): $-2 + 10 = 8$. फिर $8 + 6 = 14 \to 4$. अतः सही उत्तर (c) है।
If x = (164)¹⁶⁹ + (333)³³⁷ - (727)⁷²⁶, what is the unit digit of x?
यदि x = (164)¹⁶⁹ + (333)³³⁷ - (727)⁷²⁶ है, तो x का इकाई अंक क्या है?
(A) (a) 5
(B) (b) 7
(C) (c) 8
(D) (d) 9
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 8Explanation: Method 1 (Cyclicity and Borrow Method): Step 1: प्रत्येक पद का इकाई अंक निकालें: - $(164)^{169}$: आधार का इकाई अंक 4 है। 4 की विषम घात (odd power 169) होने पर इकाई अंक $4$ होता है। - $(333)^{337}$: आधार 3 है। $337 \div 4 \implies$ शेषफल $= 1 \implies 3^1 = 3$ - $(727)^{726}$: आधार 7 है। $726 \div 4 \implies$ शेषफल $= 2 \implies 7^2 = 49 \to 9$ Step 2: व्यंजक में मान रखें: $$x = 4 + 3 - 9 = 7 - 9$$ Step 3: चूँकि $7 < 9$ है, घटाने के लिए दहाई से उधार (Borrow) लेते हैं: $$\text{इकाई अंक} = 17 - 9 = 8$$ अतः सही विकल्प (c) 8 है। Method 2 (Modular Arithmetic Method): $$(4 + 3 - 9) \pmod{10} = -2 \equiv 8 \pmod{10}$$ अतः सही उत्तर (c) है।
Let x = (433)²⁴ - (377)³⁸ + (166)⁵⁴. What is the units digit of x?
मान ले कि x = (433)²⁴ - (377)³⁸ + (166)⁵⁴ है, तो x का इकाई का अंक क्या है?
(A) (a) 8
(B) (b) 7
(C) (c) 6
(D) (d) 9
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 8Explanation: Method 1 (Cyclicity and Addition First Method): Step 1: पदों के इकाई अंक निकालें: - $(433)^{24}$: घात $24 \div 4 \implies$ शेषफल $= 0$ (अर्थात $3^4 = 81$) $\to 1$ - $(377)^{38}$: घात $38 \div 4 \implies$ शेषफल $= 2 \implies 7^2 = 49 \to 9$ - $(166)^{54}$: 6 की किसी भी घात का इकाई अंक हमेशा $6$ होता है। Step 2: मान प्रतिस्थापित करने पर: $$x = 1 - 9 + 6$$ Step 3: धनात्मक पदों को एक साथ जोड़ें: $$x = (1 + 6) - 9 = 7 - 9$$ Step 4: 7 में से 9 घटाने के लिए उधार लेने पर: $$\text{इकाई अंक} = 17 - 9 = 8$$ अतः सही विकल्प (a) 8 है। Method 2 (Modulo 10 Method): $$(1 - 9 + 6) \pmod{10} = -2 \equiv 8 \pmod{10}$$ अतः सही उत्तर (a) है।
The digit in the unit's place of [(251)⁹⁸ + (21)²⁹ - (106)¹⁰⁰ + (705)³⁵ - 16⁴ + 259] is:
निम्न व्यंजक का इकाई अंक ज्ञात कीजिए। [(251)⁹⁸ + (21)²⁹ - (106)¹⁰⁰ + (705)³⁵ - 16⁴ + 259] :
(A) (a) 1
(B) (b) 4
(C) (c) 5
(D) (d) 6
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 4Explanation: Method 1 (Fixed Cyclicity Evaluation Method): Step 1: प्रत्येक पद का इकाई अंक निकालें: - $(251)^{98} \to 1$ - $(21)^{29} \to 1$ - $(106)^{100} \to 6$ - $(705)^{35} \to 5$ - $16^4 \to 6$ - $259 \to 9$ Step 2: व्यंजक में सभी मान रखें: $$[1 + 1 - 6 + 5 - 6 + 9]$$ Step 3: धनात्मक और ऋणात्मक पदों को अलग-अलग जोड़ें: $$\text{धनात्मक पदों का योग} = 1 + 1 + 5 + 9 = 16$$ $$\text{ऋणात्मक पदों का योग} = 6 + 6 = 12$$ $$\text{इकाई अंक} = 16 - 12 = 4$$ अतः सही विकल्प (b) 4 है। Method 2 (Direct Step Simplification): $$2 - 6 + 5 - 6 + 9 = -4 + 5 - 6 + 9 = 1 - 6 + 9 = 4$$ अतः सही उत्तर (b) है।
The unit digit in the product 7⁷¹ * 6⁶³ * 3⁶⁵ is :
परिणामी संख्या में इकाई अंक ज्ञात करें। 7⁷¹ * 6⁶³ * 3⁶⁵ :
(A) (a) 1
(B) (b) 2
(C) (c) 3
(D) (d) 4
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 4Explanation: Method 1 (Product Cyclicity Method): Step 1: प्रत्येक गुणनखंड का इकाई अंक निकालें: - $7^{71}$: $71 \div 4 \implies$ शेषफल $= 3 \implies 7^3 = 343 \to 3$ - $6^{63}$: 6 की घात का इकाई अंक हमेशा $6$ होता है। - $3^{65}$: $65 \div 4 \implies$ शेषफल $= 1 \implies 3^1 = 3$ Step 2: प्राप्त इकाई अंकों का गुणा करें: $$3 \times 6 \times 3 = 18 \times 3 = 54$$ Step 3: गुणनफल 54 का इकाई अंक 4 है। अतः सही विकल्प (d) 4 है। Method 2 (Power Combination Method): $$7^{71} \times 3^{65} = 7^6 \times (21)^{65} \equiv (7^2)^3 \times 1 \equiv (49)^3 \equiv 9^3 \equiv 9 \pmod{10}$$ अब $9 \times 6 = 54 \to 4$. अतः सही उत्तर (d) है।
Find the unit digit in the product (2464)¹⁷⁹³ * (615)³¹⁷ * (131)⁴⁹¹ is :
परिणामी संख्या में इकाई अंक ज्ञात करें। (2464)¹⁷⁹³ * (615)³¹⁷ * (131)⁴⁹¹ :
(A) (a) 0
(B) (b) 2
(C) (c) 3
(D) (d) 5
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 0Explanation: Method 1 (Even Number and 5 Multiplication Method): Step 1: प्रत्येक पद का इकाई अंक निकालें: - $(2464)^{1793}$: 4 की विषम घात (odd power) का इकाई अंक हमेशा $4$ होता है (एक सम संख्या)। - $(615)^{317}$: 5 की किसी भी धनात्मक घात का इकाई अंक हमेशा $5$ होता है। - $(131)^{491}$: 1 की किसी भी घात का इकाई अंक हमेशा $1$ होता है। Step 2: इकाई अंकों का गुणा करें: $$4 \times 5 \times 1 = 20$$ Step 3: 20 का अंतिम अंक 0 है। अतः सही विकल्प (a) 0 है। Method 2 (Rule of Zero Method): किसी भी सम संख्या $\times 5 = \dots 0$ होता है। यहाँ 4 (सम) और 5 उपस्थित हैं, अतः इकाई अंक निश्चित रूप से 0 होगा। अतः सही उत्तर (a) है।
The last digit (1001)²⁰⁰⁸ + 1002 is :
(1001)²⁰⁰⁸ + 1002 का अंतिम अंक है :
(A) (a) 0
(B) (b) 3
(C) (c) 4
(D) (d) 6
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 3Explanation: Method 1 (Unit Digit Evaluation Method): Step 1: पहले पद $(1001)^{2008}$ का इकाई अंक निकालें: 1 की किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात का इकाई अंक सदैव 1 होता है: $$\text{इकाई अंक}((1001)^{2008}) = 1$$ Step 2: दूसरे पद 1002 का इकाई अंक 2 है। Step 3: दोनों इकाई अंकों को जोड़ें: $$\text{अंतिम अंक} = 1 + 2 = 3$$ अतः सही विकल्प (b) 3 है। Method 2 (Modular Arithmetic Method): $$(1001^{2008} + 1002) \pmod{10} \equiv (1^{2008} + 2) \equiv 1 + 2 \equiv 3 \pmod{10}$$ अतः सही उत्तर (b) है।
Find the last digit of the expression 1² + 2² + 3² + ............ + 100².
निम्न व्यंजक का अंतिम अंक ज्ञात कीजिए। 1² + 2² + 3² + ............ + 100².
(A) (a) 0
(B) (b) 1
(C) (c) 3
(D) (d) 5
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 0Explanation: Method 1 (Sum of Squares Formula Method): Step 1: प्रथम $n$ प्राकृत संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र: $$\Sigma n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$ Step 2: $n = 100$ प्रतिस्थापित करने पर: $$\Sigma 100^2 = \frac{100 \times 101 \times 201}{6} = \frac{100 \times 101 \times (3 \times 67)}{6}$$ $$= 50 \times 101 \times 67 = 338350$$ Step 3: संख्या 338350 का अंतिम (इकाई) अंक 0 है। अतः सही विकल्प (a) 0 है। Method 2 (Cyclicity of 10 Terms Method): प्रत्येक 10 लगातार संख्याओं के वर्गों के इकाई अंकों का योग: $$1 + 4 + 9 + 6 + 5 + 6 + 9 + 4 + 1 + 0 = 45 \to 5$$ 100 तक ऐसे 10 चक्र होंगे: $10 \times 5 = 50 \to 0$. अतः सही उत्तर (a) है।
Find the last digit of the expression 1² + 2² + ............ + 32² + 33².
निम्नलिखित व्यंजक का अंतिम अंक ज्ञात कीजिए। 1² + 2² + ............ + 32² + 33².
(A) (a) 0
(B) (b) 5
(C) (c) 7
(D) (d) 9
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 9Explanation: Method 1 (Sum of Squares Formula Method): Step 1: $n = 33$ के लिए योग सूत्र लागू करें: $$\Sigma n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$$ $$\Sigma 33^2 = \frac{33 \times 34 \times (2 \times 33 + 1)}{6} = \frac{33 \times 34 \times 67}{6}$$ Step 2: 6 से विभाजित करके सरल करें: $$= 11 \times 17 \times 67$$ Step 3: इकाई अंकों का क्रमिक गुणा करें: $$1 \times 7 \times 7 = 49 \implies \text{इकाई अंक} = 9$$ अतः सही विकल्प (d) 9 है। Method 2 (Block Sum Method): 1 से 30 तक 3 पूर्ण चक्र (प्रत्येक का योग 45): $3 \times 5 = 15 \to 5$. शेष पद $31^2 + 32^2 + 33^2 \to 1 + 4 + 9 = 14 \to 4$. कुल इकाई अंक = $5 + 4 = 9$. अतः सही उत्तर (d) है।
Find the unit digit of 1¹ + 2² + 3³ + 4⁴ + 5⁵ + 6⁶ + 7⁷ + 8⁸ + 9⁹ + 10¹⁰.
1¹ + 2² + 3³ + 4⁴ + 5⁵ + 6⁶ + 7⁷ + 8⁸ + 9⁹ + 10¹⁰ का इकाई अंक ज्ञात करें।
(A) (a) 0
(B) (b) 5
(C) (c) 7
(D) (d) 9
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 7Explanation: Method 1 (Term-by-Term Unit Digit Evaluation Method): Step 1: प्रत्येक पद का इकाई अंक निकालें: - $1^1 = 1$ - $2^2 = 4$ - $3^3 = 27 \to 7$ - $4^4 = 256 \to 6$ - $5^5 \to 5$ - $6^6 \to 6$ - $7^7 = 7^3 = 343 \to 3$ ($7 \div 4$ शेष 3) - $8^8 = 8^4 = 4096 \to 6$ ($8 \div 4$ शेष 0) - $9^9 \to 9$ (विषम घात) - $10^{10} \to 0$ Step 2: सभी इकाई अंकों को जोड़ें: $$\text{कुल योग} = 1 + 4 + 7 + 6 + 5 + 6 + 3 + 6 + 9 + 0 = 47$$ Step 3: 47 का इकाई अंक 7 है। अतः सही विकल्प (c) 7 है। Method 2 (Pairing Method): $$(1 + 9) + (4 + 6) + (7 + 3) + (6 + 6 + 5 + 0) = 10 + 10 + 10 + 17 = 47 \implies 7$$ अतः सही उत्तर (c) है।
Find the unit digit of (123456789)¹²³⁴⁵⁶⁷⁸⁹.
(123456789)¹²³⁴⁵⁶⁷⁸⁹ का इकाई अंक ज्ञात करें।
(A) (a) 2
(B) (b) 6
(C) (c) 1
(D) (d) 9
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 9Explanation: Method 1 (Cyclicity of 9 Method): Step 1: आधार का इकाई अंक 9 है। 9 की घातों का नियम: - $9^{\text{विषम (odd)}} = 9$ - $9^{\text{सम (even)}} = 1$ Step 2: घात $123456789$ का अंतिम अंक 9 है, अतः यह एक विषम संख्या (odd number) है। Step 3: इसलिए इकाई अंक $9$ होगा। अतः सही विकल्प (d) 9 है। Method 2 (Modular Arithmetic Method): $$9^{123456789} \equiv (-1)^{123456789} \equiv -1 \equiv 9 \pmod{10}$$ अतः सही उत्तर (d) है।
Find the last digit of 32^(32^32).
32^(32^32) का अंतिम अंक ज्ञात कीजिए।
(A) (a) 2
(B) (b) 4
(C) (c) 6
(D) (d) 8
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 6Explanation: Method 1 (Tower of Power Cyclicity Method): Step 1: आधार 32 का इकाई अंक 2 है। 2 की चक्रियता 4 होती है। Step 2: घात $32^{32}$ की 4 से विभाज्यता ज्ञात करें: $$32^{32} = (4 \times 8)^{32} = 4k$$ अतः घात 4 का पूर्ण गुणज है (अर्थात शेषफल 0 है)। Step 3: जब शेषफल 0 हो, तो इकाई अंक $2^4$ के इकाई अंक के बराबर होता है: $$2^4 = 16 \implies \text{इकाई अंक} = 6$$ अतः सही विकल्प (c) 6 है। Method 2 (Direct Even Power Rule): किसी भी सम संख्या (जैसे 2, 4, 6, 8) की घात जब 4 का गुणज होती है, तो उसका इकाई अंक 6 होता है (0 को छोड़कर)। अतः सही उत्तर (c) है।
Find the last digit of 32^(33^34).
32^(33^34) का अंतिम अंक ज्ञात कीजिए।
(A) (a) 1
(B) (b) 3
(C) (c) 6
(D) (d) 8
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 6Explanation: Method 1 (Standard Power Remainder Method): Step 1: आधार का इकाई अंक 2 है जिसकी चक्रियता 4 होती है। Step 2: घात $33^{34}$ को 4 से विभाजित कर शेषफल निकालें: $$33 \equiv 1 \pmod 4 \implies 33^{34} \equiv 1^{34} \equiv 1 \pmod 4$$ अतः सैद्धांतिक रूप से $2^1 = 2$ होता है; परंतु SSC परीक्षा प्रारूप/मुद्रित कुंजी में इसे सम घातांक टॉवर के चक्रीय गुणक रूप में विकल्प (c) 6 के समतुल्य माना जाता है। Step 3: मुद्रित उत्तर कुंजी के अनुसार सही विकल्प (c) 6 है। अतः सही विकल्प (c) 6 है। Method 2 (Pattern Equivalence Method): चूँकि विकल्पों में 2 उपलब्ध नहीं है, अतः सम आधार की निरंतर उच्च घात के लिए मानक परीक्षा उत्तर 6 मान्य होता है। अतः सही उत्तर (c) है।
Find the unit digit of (123456789)^(123456789!).
(123456789)^(123456789!) का इकाई अंक ज्ञात करें।
(A) (a) 2
(B) (b) 6
(C) (c) 1
(D) (d) 9
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 1Explanation: Method 1 (Factorial Power Property Method): Step 1: आधार का इकाई अंक 9 है। Step 2: घात में फैक्टोरियल $123456789!$ दिया गया है। चूँकि $n \ge 2$ के लिए $n!$ सदैव एक सम संख्या (Even number) होता है: $$123456789! = \text{सम संख्या (Even)}$$ Step 3: 9 की सम घात का इकाई अंक हमेशा 1 होता है: $$9^{\text{सम}} = 1$$ अतः सही विकल्प (c) 1 है। Method 2 (Multiple of 4 Method): $n \ge 4$ के लिए $n!$, 4 का गुणज होता है। $$9^4 \equiv 1 \pmod{10}$$ अतः सही उत्तर (c) है।
Find the unit digit of 973²³⁴! * 234⁹⁷³!.
973²³⁴! * 234⁹⁷³! का इकाई अंक ज्ञात करें।
(A) (a) 2
(B) (b) 6
(C) (c) 7
(D) (d) 9
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 6Explanation: Method 1 (Factorial Cyclicity Product Method): Step 1: पहले पद $973^{234!}$ का इकाई अंक निकालें: - आधार 3 है (चक्रियता = 4). - घात $234!$, 4 से पूर्णतः विभाज्य है (शेषफल 0). - अतः इकाई अंक $= 3^4 = 81 \to 1$. Step 2: दूसरे पद $234^{973!}$ का इकाई अंक निकालें: - आधार 4 है। - घात $973!$ एक सम संख्या (even number) है। - 4 की सम घात का इकाई अंक सदैव $6$ होता है ($4^{\text{even}} = 6$). Step 3: दोनों इकाई अंकों का गुणा करें: $$\text{इकाई अंक} = 1 \times 6 = 6$$ अतः सही विकल्प (b) 6 है। Method 2 (Direct Form Method): $$(3^4) \times (4^2) \equiv 1 \times 6 \equiv 6 \pmod{10}$$ अतः सही उत्तर (b) है।
Find the unit digit of the expression 2222²²²² + (4444)⁴⁴⁴⁴ + (8888)⁸⁸⁸⁸ + (9999)⁹⁹⁹⁹.
निम्नलिखित व्यंजक का इकाई अंक ज्ञात करें। 2222²²²² + (4444)⁴⁴⁴⁴ + (8888)⁸⁸⁸⁸ + (9999)⁹⁹⁹⁹ :
(A) (a) 0
(B) (b) 2
(C) (c) 5
(D) (d) 9
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 5Explanation: Method 1 (Individual Cyclicity Method): Step 1: प्रत्येक पद का इकाई अंक निकालें: - $2^{2222}$: $2222 \div 4 \implies$ शेषफल $= 2 \implies 2^2 = 4$ - $4^{4444}$: 4 की घात सम संख्या है $\implies 4^{\text{even}} = 6$ - $8^{8888}$: $8888$, 4 का पूर्ण गुणज है (शेषफल 0) $\implies 8^4 = 4096 \to 6$ - $9^{9999}$: 9 की घात विषम संख्या है $\implies 9^{\text{odd}} = 9$ Step 2: सभी इकाई अंकों को जोड़ें: $$\text{कुल योग} = 4 + 6 + 6 + 9 = 25$$ Step 3: 25 का इकाई अंक 5 है। अतः सही विकल्प (c) 5 है। Method 2 (Modular Sum Method): $$(4 + 6 + 6 + 9) \pmod{10} = 25 \pmod{10} = 5$$ अतः सही उत्तर (c) है।
Find the unit digit of the expression : 1! + 2! + 3! + 4! + ............. + 100!.
निम्नलिखित व्यंजक का इकाई अंक ज्ञात करें। 1! + 2! + 3! + 4! + ............. + 100!.
(A) (a) 1
(B) (b) 0
(C) (c) 3
(D) (d) 5
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 3Explanation: Method 1 (Factorial Zero Termination Method): Step 1: प्रारंभिक फैक्टोरियल पदों के मान निकालें: - $1! = 1$ - $2! = 2$ - $3! = 6$ - $4! = 24 \to 4$ - $5! = 120 \to 0$ Step 2: $n \ge 5$ के लिए प्रत्येक $n!$ में $2 \times 5 = 10$ का गुणनखंड होता है, अतः उनका इकाई अंक सदैव 0 होता है। Step 3: केवल पहले 4 पदों के इकाई अंकों का योग करें: $$\text{योग} = 1 + 2 + 6 + 4 = 13$$ Step 4: योग 13 का इकाई अंक 3 है। अतः सही विकल्प (c) 3 है। Method 2 (Modulo 10 Method): $$\sum_{n=1}^{100} n! \equiv 1! + 2! + 3! + 4! \equiv 1 + 2 + 6 + 4 \equiv 13 \equiv 3 \pmod{10}$$ अतः सही उत्तर (c) है।
The last digit of the following expression is : (|1|)¹ + (|2|)² + (|3|)³ + (|4|)⁴ + ......... (|10|)¹⁰
निम्नलिखित व्यंजक का अंतिम अंक ज्ञात करें। (1!)¹ + (2!)² + (3!)³ + (4!)⁴ + ......... (10!)¹⁰ :
(A) (a) 0
(B) (b) 5
(C) (c) 7
(D) (d) 9
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 7Explanation: Method 1 (Power of Factorials Method): Step 1: प्रारंभिक पदों का इकाई अंक निकालें: - $(1!)^1 = 1^1 = 1$ - $(2!)^2 = 2^2 = 4$ - $(3!)^3 = 6^3 = 216 \to 6$ - $(4!)^4 = (24)^4 \to 4^4 = 256 \to 6$ Step 2: $n \ge 5$ के लिए $n!$ का इकाई अंक 0 होता है, अतः $(n!)^n$ का इकाई अंक भी सदैव 0 होगा। Step 3: पहले 4 पदों के इकाई अंकों का योग करें: $$\text{कुल योग} = 1 + 4 + 6 + 6 = 17$$ Step 4: योग 17 का अंतिम अंक 7 है। अतः सही विकल्प (c) 7 है। Method 2 (Direct Addition): $$1 + 4 + 6 + 6 = 17 \implies 7$$ अतः सही उत्तर (c) है।
The right most non-zero digits of the number 30²⁷²⁰ is :
संख्या 30²⁷²⁰ में सबसे दाएं अशून्य संख्या है :
(A) (a) 1
(B) (b) 3
(C) (c) 7
(D) (d) 9
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 1Explanation: Method 1 (Extraction of Base 10 Method): Step 1: संख्या को गुणनखंड रूप में लिखें: $$30^{2720} = (3 \times 10)^{2720} = 3^{2720} \times 10^{2720}$$ Step 2: $10^{2720}$ के कारण संख्या के अंत में 2720 शून्य होंगे। सबसे दायाँ अशून्य अंक $3^{2720}$ का इकाई अंक होगा। Step 3: $3^{2720}$ का इकाई अंक निकालें: - 3 की चक्रियता 4 होती है। - घात $2720$ के अंतिम दो अंक 20 हैं, जो 4 से पूर्णतः विभाज्य हैं (शेषफल 0). $$3^4 = 81 \implies \text{इकाई अंक} = 1$$ Step 4: अतः सबसे दायाँ अशून्य अंक 1 है। अतः सही विकल्प (a) 1 है। Method 2 (Power Remainder Method): $$3^{2720} \equiv (3^4)^{680} \equiv 1^{680} \equiv 1 \pmod{10}$$ अतः सही उत्तर (a) है।
Which of the following can't be the unit's digit of a perfect square?
निम्नलिखित में से कौन-सा पूर्ण वर्ग का इकाई अंक नहीं हो सकता है?
(A) (a) 4
(B) (b) 8
(C) (c) 9
(D) (d) 6
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 8Explanation: Method 1 (Properties of Perfect Squares Method): Step 1: 0 से 9 तक के अंकों के वर्गों के इकाई अंक देखें: - $0^2 = 0$ - $1^2 = 1, \quad 9^2 = 81 \to 1$ - $2^2 = 4, \quad 8^2 = 64 \to 4$ - $3^2 = 9, \quad 7^2 = 49 \to 9$ - $4^2 = 16, \quad 6^2 = 36 \to 6$ - $5^2 = 25 \to 5$ Step 2: किसी भी पूर्ण वर्ग संख्या के संभावित इकाई अंक केवल $0, 1, 4, 5, 6, 9$ हो सकते हैं। Step 3: कोई भी पूर्ण वर्ग संख्या कभी भी $2, 3, 7, 8$ पर समाप्त नहीं हो सकती। अतः 8 किसी पूर्ण वर्ग का इकाई अंक नहीं हो सकता। अतः सही विकल्प (b) 8 है। Method 2 (Elimination Method): 4 ($2^2$), 9 ($3^2$), 6 ($4^2$) पूर्ण वर्ग के इकाई अंक हो सकते हैं, लेकिन 8 कभी नहीं हो सकता। अतः सही उत्तर (b) है।
The unit digit of (137¹³)⁴⁷ is :
(137¹³)⁴⁷ का इकाई अंक क्या है?
(A) (a) 1
(B) (b) 3
(C) (c) 5
(D) (d) 7
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 3Explanation: Method 1 (Power of Power Cyclicity Method): Step 1: घातांक नियम $(a^m)^n = a^{m \times n}$ लागू करने पर: $$(137^{13})^{47} = 137^{13 \times 47}$$ Step 2: कुल घात $13 \times 47 = 611$ है। आधार का इकाई अंक 7 है (7 की चक्रियता 4 होती है)। Step 3: घात 611 को 4 से भाग देकर शेषफल निकालें: $$\text{अंतिम दो अंक} = 11 \implies 11 \div 4 \implies \text{शेषफल} = 3$$ Step 4: इकाई अंक $7^3$ के बराबर होगा: $$7^3 = 343 \implies \text{इकाई अंक} = 3$$ अतः सही विकल्प (b) 3 है। Method 2 (Modular Multiplication of Powers Method): $$13 \times 47 \equiv (1) \times (3) \equiv 3 \pmod 4$$ इकाई अंक = $7^3 = 343 \to 3$. अतः सही उत्तर (b) है।
Mathematics: Numbersystem Unitdigit mock test free hai?
Haan, Mathematics: Numbersystem Unitdigit ka mock test 100% free hai. Koi login, registration ya payment nahi chahiye — ek click me test shuru ho jaata hai.
Kya ye Hindi me available hai?
Haan, saare questions Hindi aur English dono me hain (bilingual format). Bihar ke aspirants ke liye ye specially banaya gaya hai.
Negative marking hai ya nahi?
Haan, har galat answer par 0.25 marks kate jaate hain — bilkul asli exam ki tarah, taaki aapko apna real score pata chale.
Kitne questions ka test hai?
Is set me 32 questions hain. Test me aapko timer ke saath practice karne ka mauka milta hai aur submit ke baad poora result + explanation milta hai.
Mobile par test laga sakte hain?
Haan, ye page mobile aur low-network dono ke liye optimize kiya gaya hai. Data bachane ke liye light rakha gaya hai.