Mathematics: Raceandcircular Circular ke liye free mock test: 39 questions, timer, negative marking aur explanation ke saath. Koi login nahi, koi payment nahi — turant shuru karein.
Mathematics: Raceandcircular Circular ke liye ye 39 questions ka practice set General Knowledge pattern par banaya gaya hai. Test me 45 second per question ka timer hai aur har galat answer par 0.25 marks kate jaate hain — bilkul asli exam jaisa. Submit karne ke baad aapko exact score, accuracy aur har question ka explanation milta hai. Bihar ke competitive exams (BPSC, BSSC, Bihar Police, BTSC) ki tayari karne wale students ke liye.
Neeche is set ke kuch questions hain — inhi par aapka timed test banega. Answer dekhne ke liye “Answer” par click karein.
In a circular race of 840 m, A and B start running in the same direction at the same time from the same point at the speeds of 6 m/s and 12 m/s, respectively. After how much time will they meet next?
840 मीटर की एक वृत्ताकार दौड़ में, A और B एक ही बिंदु से एक ही समय पर क्रमशः 6 मीटर/सेकंड और 12 मीटर/सेकंड की गति से एक ही दिशा में दौड़ना शुरू करते हैं। वे अगली बार कितने समय बाद मिलेंगे?
(A) (a) 140 sec
(B) (b) 20 sec
(C) (c) 40 sec
(D) (d) 70 sec
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 140 secExplanation: Method 1 (Relative Speed Method): Step 1: वृत्ताकार ट्रैक की लंबाई = 840 मीटर। दोनों एक ही दिशा में दौड़ रहे हैं, अतः सापेक्ष गति (Relative Speed): $$\text{सापेक्ष गति} = 12 - 6 = 6\text{ मीटर/सेकंड}$$ Step 2: वृत्ताकार ट्रैक पर अगली बार मिलने के लिए तेज धावक को धीमे धावक पर 1 पूरे चक्कर (840 मीटर) की बढ़त बनानी होगी: $$\text{समय} = \frac{\text{ट्रैक की लंबाई}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{840}{6} = 140\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (a) 140 sec है। Method 2 (Lap Time Difference Method): Step 1: 1 चक्कर लगाने में लगा समय: - A का समय = 840 / 6 = 140 सेकंड - B का समय = 840 / 12 = 70 सेकंड Step 2: मिलने का समय = $\frac{T_A \times T_B}{|T_A - T_B|} = \frac{140 \times 70}{140 - 70} = \frac{140 \times 70}{70} = 140$ सेकंड। अतः सही उत्तर (a) है।
Two athletes are participating in a race on a circular track of 220 m. Ravi runs at the speed of 22 m/s, while Kapil runs at the speed of 11 m/s. They start from the same point, at the same time and in the same direction. After how many seconds will they meet for the first time?
दो एथलीट 220 मीटर के वृत्ताकार ट्रैक पर एक दौड़ में भाग ले रहे हैं। रवि 22 मीटर/सेकंड की गति से दौड़ता है, जबकि कपिल 11 मीटर/सेकंड की गति से दौड़ता है। वे एक ही बिंदु से, एक ही समय पर और एक ही दिशा में शुरुआत करते हैं। वे पहली बार कितने सेकंड बाद मिलेंगे?
(A) (a) 15 sec.
(B) (b) 16 sec.
(C) (c) 20 sec.
(D) (d) 24 sec.
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 20 sec.Explanation: Method 1 (Relative Speed Method): Step 1: ट्रैक की कुल परिधि = 220 मीटर। समान दिशा में सापेक्ष गति: $$\text{सापेक्ष गति} = 22 - 11 = 11\text{ मीटर/सेकंड}$$ Step 2: पहली बार मिलने में लगा समय: $$\text{समय} = \frac{\text{ट्रैक की लंबाई}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{220}{11} = 20\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (c) 20 sec. है। Method 2 (Formula Method): Step 1: 1 चक्कर का समय: रवि = 220 / 22 = 10 सेकंड, कपिल = 220 / 11 = 20 सेकंड। Step 2: मिलने का समय = $\frac{10 \times 20}{20 - 10} = \frac{200}{10} = 20$ सेकंड। अतः सही उत्तर (c) है।
In a circular race of 950 m length, A and B start with speeds of 18 km/h and 36 km/h, respectively, in the same direction, at the same time, from the same point. After how many seconds will they meet for the first time at the starting point?
950 मीटर लंबाई की एक वृत्ताकार दौड़ में, A और B एक ही बिंदु से, एक ही समय पर, एक ही दिशा में क्रमशः 18 किमी/घंटा और 36 किमी/घंटा की गति से शुरुआत करते हैं। वे शुरुआती बिंदु पर पहली बार कितने सेकंड बाद मिलेंगे?
(A) (a) 195
(B) (b) 190
(C) (c) 90
(D) (d) 95
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 190Explanation: Method 1 (LCM of Lap Times Method): Step 1: गतियों को मीटर/सेकंड में बदलें: - A की गति = $18 \times \frac{5}{18} = 5$ मीटर/सेकंड - B की गति = $36 \times \frac{5}{18} = 10$ मीटर/सेकंड Step 2: प्रत्येक द्वारा 1 पूरा चक्कर लगाने में लिया गया समय: - A द्वारा 1 चक्कर का समय = $\frac{950}{5} = 190$ सेकंड - B द्वारा 1 चक्कर का समय = $\frac{950}{10} = 95$ सेकंड Step 3: शुरुआती बिंदु पर पहली बार मिलने का समय दोनों के व्यक्तिगत चक्कर के समयों का ल.स.प. (LCM) होता है: $$\text{समय} = \text{LCM}(190, 95) = 190\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (b) 190 है। Method 2 (Lap Multiplier Method): Step 1: 190 सेकंड में A ने ठीक 1 चक्कर पूरा किया और शुरुआती बिंदु पर पहुँचा। Step 2: 190 सेकंड में B ने ठीक $190 / 95 = 2$ चक्कर पूरे किए और वह भी ठीक उसी समय शुरुआती बिंदु पर पहुँचा। अतः वे पहली बार 190 सेकंड बाद शुरुआती बिंदु पर मिलेंगे। अतः सही उत्तर (b) है।
In a circular race of 2,500m, Reeta and Geeta start running in the same direction from the same point and at the same time with speeds of 36 km/h and 54 km/h, respectively. After how much time will they meet for the first time on the track?
2,500 मीटर की एक वृत्ताकार दौड़ में, रीता और गीता एक ही बिंदु से और एक ही समय में एक ही दिशा में क्रमशः 36 किमी/घंटा और 54 किमी/घंटा की गति से दौड़ना शुरू करती हैं। वे ट्रैक पर पहली बार कितने समय बाद मिलेंगी?
(A) (a) 500 sec
(B) (b) 450 sec
(C) (c) 600 sec
(D) (d) 400 sec
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 500 secExplanation: Method 1 (Relative Speed Method): Step 1: गतियों को मीटर/सेकंड में बदलें: - रीता की गति = $36 \times \frac{5}{18} = 10$ मीटर/सेकंड - गीता की गति = $54 \times \frac{5}{18} = 15$ मीटर/सेकंड Step 2: समान दिशा में दौड़ने पर सापेक्ष गति: $$\text{सापेक्ष गति} = 15 - 10 = 5\text{ मीटर/सेकंड}$$ Step 3: ट्रैक पर पहली बार कहीं भी मिलने में लगा समय: $$\text{समय} = \frac{\text{ट्रैक की परिधि}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{2500}{5} = 500\text{ सेकंड}$$ (नोट: 500 सेकंड = 8 मिनट 20 सेकंड) अतः सही विकल्प (a) 500 sec है। Method 2 (Lap Difference Method): Step 1: रीता का 1 चक्कर = 2500 / 10 = 250 सेकंड। गीता का 1 चक्कर = 2500 / 15 = 500/3 सेकंड। Step 2: ट्रैक पर पहली बार मिलने का समय = $\frac{T_1 \times T_2}{|T_1 - T_2|} = \frac{250 \times \frac{500}{3}}{250 - \frac{500}{3}} = \frac{\frac{125000}{3}}{\frac{250}{3}} = \frac{125000}{250} = 500$ सेकंड। अतः सही उत्तर (a) है।
In a circular race along a track of length 3600 m, X and Y run at speeds of 27 km/h and 45 km/h, respectively. Suppose they start at the same time and in the same direction, when will they meet again at the starting point?
3600 मीटर लंबाई के एक वृत्ताकार ट्रैक पर एक दौड़ में, X और Y क्रमशः 27 किमी/घंटा और 45 किमी/घंटा की गति से दौड़ते हैं। मान लीजिए कि वे एक ही समय में और एक ही दिशा में दौड़ना शुरू करते हैं, तो वे शुरुआती बिंदु पर फिर से कब मिलेंगे?
(A) (a) 1440 sec
(B) (b) 720 sec
(C) (c) 2200 sec
(D) (d) 1200 sec
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 1440 secExplanation: Method 1 (LCM of Individual Lap Times Method): Step 1: गतियों को मीटर/सेकंड में बदलें: - X की गति = $27 \times \frac{5}{18} = 7.5$ मीटर/सेकंड - Y की गति = $45 \times \frac{5}{18} = 12.5$ मीटर/सेकंड Step 2: प्रत्येक द्वारा 1 पूरा चक्कर लगाने में लिया गया समय: - X का 1 चक्कर का समय = $\frac{3600}{7.5} = 480$ सेकंड - Y का 1 चक्कर का समय = $\frac{3600}{12.5} = 288$ सेकंड Step 3: शुरुआती बिंदु पर पुनः मिलने का समय दोनों के व्यक्तिगत चक्कर के समयों का LCM होता है: $$\text{समय} = \text{LCM}(480, 288)$$ - $480 = 96 \times 5$ - $288 = 96 \times 3$ $$\text{LCM} = 96 \times 15 = 1440\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (a) 1440 sec है। Method 2 (Lap Number Verification): Step 1: 1440 सेकंड में X के चक्कर = $1440 / 480 = 3$ पूर्ण चक्कर। Step 2: 1440 सेकंड में Y के चक्कर = $1440 / 288 = 5$ पूर्ण चक्कर। दोनों ठीक 1440 सेकंड पर एक साथ पुनः शुरुआती बिंदु पर होंगे। अतः सही उत्तर (a) है।
In a race of 1200 m on a circular track, A and B start from the same place at the same time in the same direction with speeds of 18km/h and 27km/h respectively. How long after the start of the race will they meet for the first time on the track?
एक वृत्ताकार ट्रैक पर 1200 मीटर की दौड़ में, A और B एक ही स्थान से एक ही समय पर एक ही दिशा में क्रमशः 18 किमी/घंटा और 27 किमी/घंटा की गति से दौड़ना शुरू करते हैं। दौड़ शुरू होने के कितने समय बाद वे ट्रैक पर पहली बार मिलेंगे?
(A) (a) 240 sec
(B) (b) 520 sec
(C) (c) 300 sec
(D) (d) 480 sec
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 480 secExplanation: Method 1 (Relative Speed Method): Step 1: समान दिशा में दौड़ते समय सापेक्ष गति निकालें: $$\text{सापेक्ष गति} = 27 - 18 = 9\text{ किमी/घंटा}$$ मीटर/सेकंड में बदलने पर: $9 \times \frac{5}{18} = 2.5$ मीटर/सेकंड। Step 2: ट्रैक पर पहली बार कहीं भी मिलने के लिए तेज धावक को धीमे धावक पर 1 पूरे चक्कर (1200 मीटर) की बढ़त बनानी होती है: $$\text{समय} = \frac{\text{ट्रैक की लंबाई}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{1200}{2.5} = 480\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (d) 480 sec है। Method 2 (Lap Time Difference Formula): Step 1: A का 1 चक्कर = $\frac{1200}{5} = 240$ सेकंड। B का 1 चक्कर = $\frac{1200}{7.5} = 160$ सेकंड। Step 2: मिलने का समय = $\frac{240 \times 160}{240 - 160} = \frac{38400}{80} = 480$ सेकंड। अतः सही उत्तर (d) है।
Ali and Badal start from the same position and at the same time in a 1200 m circular race, with speeds of 27 km/h and 45 km/h, respectively. Find after how much time they will meet again on the track for the first time when they are both running in the same direction.
अली और बादल 1200 मीटर की एक वृत्ताकार दौड़ में एक ही स्थान से और एक ही समय पर क्रमशः 27 किमी/घंटा और 45 किमी/घंटा की गति से शुरुआत करते हैं। ज्ञात कीजिए कि जब वे दोनों एक ही दिशा में दौड़ रहे हों, तो वे ट्रैक पर पहली बार कितने समय बाद मिलेंगे।
(A) (a) 280 seconds
(B) (b) 240 seconds
(C) (c) 250 seconds
(D) (d) 220 seconds
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 240 secondsExplanation: Method 1 (Relative Speed Method): Step 1: समान दिशा में सापेक्ष गति निकालें: $$\text{सापेक्ष गति} = 45 - 27 = 18\text{ किमी/घंटा}$$ मीटर/सेकंड में बदलने पर: $18 \times \frac{5}{18} = 5$ मीटर/सेकंड। Step 2: ट्रैक पर पहली बार मिलने में लगा समय: $$\text{समय} = \frac{\text{ट्रैक की लंबाई}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{1200}{5} = 240\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (b) 240 seconds है। Method 2 (Lap Formula Method): Step 1: अली का समय = $\frac{1200}{7.5} = 160$ सेकंड, बादल का समय = $\frac{1200}{12.5} = 96$ सेकंड। Step 2: समय = $\frac{160 \times 96}{160 - 96} = \frac{15360}{64} = 240$ सेकंड। अतः सही उत्तर (b) है।
In a circular race of 1600 m, A and B start from the same point and at the same time with speeds of 27 km/h and 45 km/h, respectively. After how long will they meet again for the first time on the track when they are running in the same direction?
1600 मीटर की एक वृत्ताकार दौड़ में, A और B एक ही बिंदु से और एक ही समय पर क्रमशः 27 किमी/घंटा और 45 किमी/घंटा की गति से शुरुआत करते हैं। जब वे एक ही दिशा में दौड़ रहे हों, तो वे ट्रैक पर पहली बार फिर से कितने समय बाद मिलेंगे?
(A) (a) 90 sec
(B) (b) 320 sec
(C) (c) 240 sec
(D) (d) 180 sec
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 320 secExplanation: Method 1 (Relative Speed Method): Step 1: समान दिशा में सापेक्ष गति = $45 - 27 = 18$ किमी/घंटा। मीटर/सेकंड में बदलने पर: $18 \times \frac{5}{18} = 5$ मीटर/सेकंड। Step 2: पहली बार ट्रैक पर मिलने में लगा समय: $$\text{समय} = \frac{1600}{5} = 320\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (b) 320 sec है। Method 2 (Formula Method): Step 1: $T = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{1600}{(45 - 27) \times \frac{5}{18}} = \frac{1600}{5} = 320$ सेकंड। अतः सही उत्तर (b) है।
Sohan and Amit started a car race from the same point in the same direction and at the same time on a circular track of length 1125 m with speeds of 36 km/h and 54 km/h, respectively. After how much time (in seconds) will they meet for the first time since the start of the race?
सोहन और अमित ने 1125 मीटर लंबाई के एक वृत्ताकार ट्रैक पर एक ही बिंदु से, एक ही दिशा में और एक ही समय पर क्रमशः 36 किमी/घंटा और 54 किमी/घंटा की गति से एक कार दौड़ शुरू की। दौड़ शुरू होने के बाद से वे पहली बार कितने समय (सेकंड में) बाद मिलेंगे?
(A) (a) 220
(B) (b) 215
(C) (c) 210
(D) (d) 225
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 225Explanation: Method 1 (Relative Speed Method): Step 1: समान दिशा में सापेक्ष गति = $54 - 36 = 18$ किमी/घंटा। मीटर/सेकंड में बदलने पर: $18 \times \frac{5}{18} = 5$ मीटर/सेकंड। Step 2: पहली बार मिलने में लगा समय: $$\text{समय} = \frac{1125}{5} = 225\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (d) 225 है। Method 2 (Lap Difference Method): Step 1: सोहन का समय = $1125 / 10 = 112.5$ सेकंड। अमित का समय = $1125 / 15 = 75$ सेकंड। Step 2: समय = $\frac{112.5 \times 75}{112.5 - 75} = \frac{8437.5}{37.5} = 225$ सेकंड। अतः सही उत्तर (d) है।
Raju and Sohan started a car race from the same point, in the same direction and at the same circular track of length 1725 m with speeds of 72 km/h and 90 km/h, respectively. After how much time (in seconds) will they meet again for the first time?
राजू और सोहन ने 1725 मीटर लंबाई के एक ही वृत्ताकार ट्रैक पर, एक ही बिंदु से, एक ही दिशा में क्रमशः 72 किमी/घंटा और 90 किमी/घंटा की गति से कार दौड़ शुरू की। वे पहली बार फिर से कितने समय (सेकंड में) बाद मिलेंगे?
(A) (a) 345 seconds
(B) (b) 335 seconds
(C) (c) 340 seconds
(D) (d) 350 seconds
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 345 secondsExplanation: Method 1 (Relative Speed Method): Step 1: समान दिशा में सापेक्ष गति = $90 - 72 = 18$ किमी/घंटा = $18 \times \frac{5}{18} = 5$ मीटर/सेकंड। Step 2: पहली बार मिलने में लगा समय: $$\text{समय} = \frac{1725}{5} = 345\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (a) 345 seconds है। Method 2 (Lap Calculation Method): Step 1: राजू = $1725 / 20 = 86.25$ सेकंड। सोहन = $1725 / 25 = 69$ सेकंड। Step 2: समय = $\frac{86.25 \times 69}{86.25 - 69} = \frac{5951.25}{17.25} = 345$ सेकंड। अतः सही उत्तर (a) है।
Two runners, A and B, start from the same point on a circular track of 400 m. They run in the same direction with speeds of 10 m/s and 7 m/s, respectively. How many times will they cross each other in 15 minutes?
दो धावक, A और B, 400 मीटर के वृत्ताकार ट्रैक पर एक ही बिंदु से शुरुआत करते हैं। वे क्रमशः 10 मीटर/सेकंड और 7 मीटर/सेकंड की गति से एक ही दिशा में दौड़ते हैं। वे 15 मिनट में एक-दूसरे को कितनी बार पार करेंगे?
(A) (a) 6
(B) (b) 7
(C) (c) 5
(D) (d) 8
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 6Explanation: Method 1 (Relative Speed & Frequency Method): Step 1: समान दिशा में सापेक्ष गति = $10 - 7 = 3$ मीटर/सेकंड। Step 2: 1 बार मिलने (पार करने) में लगा समय: $$T_1 = \frac{400}{3}\text{ सेकंड}$$ Step 3: कुल उपलब्ध समय = 15 मिनट = $15 \times 60 = 900$ सेकंड। Step 4: पार करने की कुल संख्या: $$\text{संख्या} = \left\lfloor \frac{900}{400/3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{900 \times 3}{400} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{2700}{400} \right\rfloor = \lfloor 6.75 \rfloor = 6\text{ बार}$$ (नोट: 7वीं बार मिलने के लिए 933.33 सेकंड की आवश्यकता होगी)। अतः सही विकल्प (a) 6 है। Method 2 (Distance Difference Method): Step 1: 900 सेकंड में A द्वारा तय दूरी = $900 \times 10 = 9000$ मीटर। Step 2: 900 सेकंड में B द्वारा तय दूरी = $900 \times 7 = 6300$ मीटर। दूरी का अंतर = $9000 - 6300 = 2700$ मीटर। Step 3: 400 मीटर का प्रत्येक अतिरिक्त चक्कर एक क्रॉसिंग दर्शाता है: $$\text{क्रॉसिंग} = \left\lfloor \frac{2700}{400} \right\rfloor = 6\text{ बार}$$ अतः सही उत्तर (a) है।
Varun and Sandeep started for a car race from the same point, in the same direction and at the same time on a circular track of length 1635 m with the speeds of 90 km/h and 108 km/h, respectively. After how much time (in sec) will they meet again for the first time?
वरुण और संदीप ने 1635 मीटर लंबाई के एक वृत्ताकार ट्रैक पर क्रमशः 90 किमी/घंटा और 108 किमी/घंटा की गति से एक ही बिंदु से, एक ही दिशा में और एक ही समय पर एक कार दौड़ शुरू की। कितने समय (सेकंड में) के बाद वे पहली बार फिर से मिलेंगे?
(A) (a) 324
(B) (b) 325
(C) (c) 327
(D) (d) 326
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 327Explanation: Method 1 (Relative Speed Method): Step 1: समान दिशा में सापेक्ष गति = $108 - 90 = 18$ किमी/घंटा। मीटर/सेकंड में बदलने पर: $18 \times \frac{5}{18} = 5$ मीटर/सेकंड। Step 2: पहली बार मिलने में लगा समय: $$\text{समय} = \frac{1635}{5} = 327\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (c) 327 है। Method 2 (Direct Formula Method): Step 1: $T = \frac{D}{S_1 - S_2} = \frac{1635}{5} = 327$ सेकंड। अतः सही उत्तर (c) है।
A car starts from point P on a circular track and an SUV starts from point Q, which is 600 metres ahead of P in the direction of motion. The car's speed is 15 m/s, and the SUV's speed is 10 m/s. The circumference of the track is 1.5 km. How much distance will the car have travelled when it first overtakes the SUV?
एक वृत्ताकार ट्रैक पर बिंदु P से एक कार और गति की दिशा में P से 600 मीटर आगे बिंदु Q से एक SUV चलना शुरू करती है। कार की गति 15 मीटर/सेकंड है, और SUV की गति 10 मीटर/सेकंड है। ट्रैक की परिधि 1.5 किमी है। जब कार पहली बार SUV से आगे निकलेगी, तब तक वह कितनी दूरी तय कर चुकी होगी?
(A) (a) 900 m
(B) (b) 1200 m
(C) (c) 1500 m
(D) (d) 1800 m
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 1800 mExplanation: Method 1 (Relative Motion & Distance Method): Step 1: कार और SUV के बीच प्रारंभिक प्रारंभिक अंतर = 600 मीटर (कार के आगे)। Step 2: दोनों एक ही दिशा में गतिमान हैं, अतः सापेक्ष गति: $$\text{सापेक्ष गति} = 15 - 10 = 5\text{ मीटर/सेकंड}$$ Step 3: कार द्वारा SUV को पहली बार ओवरटेक करने में लगा समय: $$\text{समय} = \frac{\text{प्रारंभिक अंतर}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{600}{5} = 120\text{ सेकंड}$$ Step 4: इस 120 सेकंड में कार द्वारा तय की गई कुल वास्तविक दूरी: $$\text{दूरी} = \text{कार की गति} \times \text{समय} = 15 \times 120 = 1800\text{ मीटर}$$ अतः सही विकल्प (d) 1800 m है। Method 2 (Relative Distance Formulation): Step 1: $D_{\text{कार}} = D_{\text{SUV}} + 600$. $15t = 10t + 600 \implies 5t = 600 \implies t = 120$ सेकंड। Step 2: कार की दूरी = $15 \times 120 = 1800$ मीटर। अतः सही उत्तर (d) है।
A and B are running on a circular track of length 1400 metres. The speed of A is 33 m/sec and the speed of B is 47 m/sec. They start from the same point at the same time in the opposite direction. After how much time will they meet for the second time?
A और B 1400 मीटर लंबाई के एक वृत्ताकार ट्रैक पर दौड़ रहे हैं। A की गति 33 मीटर/सेकंड है और B की गति 47 मीटर/सेकंड है। वे विपरीत दिशा में एक ही समय पर एक ही बिंदु से शुरुआत करते हैं। वे दूसरी बार कितने समय बाद मिलेंगे?
(A) (a) 33 sec
(B) (b) 38 sec
(C) (c) 35 sec
(D) (d) 32 sec
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 35 secExplanation: Method 1 (Opposite Direction Relative Speed Method): Step 1: विपरीत दिशा में दौड़ते समय सापेक्ष गति जुड़ती है: $$\text{सापेक्ष गति} = 33 + 47 = 80\text{ मीटर/सेकंड}$$ Step 2: पहली बार (1st meeting) मिलने में लगा समय: $$T_1 = \frac{1400}{80} = 17.5\text{ सेकंड}$$ Step 3: दूसरी बार (2nd meeting) मिलने में लगा समय: $$T_2 = 2 \times T_1 = 2 \times 17.5 = 35\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (c) 35 sec है। Method 2 (Cumulative Distance Method): Step 1: दूसरी बार मिलने के लिए दोनों द्वारा मिलकर तय की गई कुल दूरी = 2 पूरे चक्कर = $2 \times 1400 = 2800$ मीटर। Step 2: समय = $\frac{2800}{33 + 47} = \frac{2800}{80} = 35$ सेकंड। अतः सही उत्तर (c) है।
On a 2200 m long circular track, Sarita and Kavita drove their cycles from the same point but in opposite direction with the speeds 20 km/hr and 16 km/hr, respectively. After how much time will they meet again for the first time?
2200 मीटर लंबे वृत्ताकार ट्रैक पर, सरिता और कविता ने एक ही बिंदु से लेकिन विपरीत दिशा में क्रमशः 20 किमी/घंटा और 16 किमी/घंटा की गति से अपनी साइकिलें चलाईं। कितने समय बाद वे पहली बार फिर से मिलेंगी?
(A) (a) 2 minutes 20 seconds
(B) (b) 3 minutes 20 seconds
(C) (c) 2 minutes 50 seconds
(D) (d) 3 minutes 40 seconds
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 3 minutes 40 secondsExplanation: Method 1 (Relative Speed Method): Step 1: विपरीत दिशा में सापेक्ष गति निकालें: $$\text{सापेक्ष गति} = 20 + 16 = 36\text{ किमी/घंटा}$$ मीटर/सेकंड में बदलने पर: $36 \times \frac{5}{18} = 10$ मीटर/सेकंड। Step 2: पहली बार मिलने में लगा समय (सेकंड में): $$\text{समय} = \frac{2200}{10} = 220\text{ सेकंड}$$ Step 3: सेकंड को मिनट और सेकंड में बदलें: $$\frac{220}{60} = 3\text{ मिनट } 40\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (d) 3 minutes 40 seconds है। Method 2 (Direct Conversion): Step 1: 220 सेकंड = $180\text{ सेकंड} + 40\text{ सेकंड} = 3\text{ मिनट } 40\text{ सेकंड}$। अतः सही उत्तर (d) है।
In a circular race of 4225 meter, X and Y start from the same point and at the same time at speeds of 54 km/h and 63 km/h. When will they meet again for the first time on the track when they are running in the opposite direction?
4225 मीटर की वृत्ताकार दौड़ में, X और Y एक ही बिंदु से और एक ही समय पर 54 किमी/घंटा और 63 किमी/घंटा की गति से शुरुआत करते हैं। विपरीत दिशा में दौड़ते समय वे ट्रैक पर पहली बार फिर से कब मिलेंगे?
(A) (a) 140 sec.
(B) (b) 150 sec.
(C) (c) 130 sec.
(D) (d) 120 sec.
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 130 sec.Explanation: Method 1 (Relative Speed Method): Step 1: विपरीत दिशा में सापेक्ष गति निकालें: $$\text{सापेक्ष गति} = 54 + 63 = 117\text{ किमी/घंटा}$$ मीटर/सेकंड में बदलने पर: $117 \times \frac{5}{18} = \frac{13 \times 5}{2} = 32.5$ मीटर/सेकंड। Step 2: पहली बार मिलने में लगा समय: $$\text{समय} = \frac{4225}{32.5} = \frac{4225 \times 2}{65} = 65 \times 2 = 130\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (c) 130 sec. है। Method 2 (Fraction Cancellation Method): Step 1: $\text{समय} = \frac{4225}{117 \times \frac{5}{18}} = \frac{4225 \times 18}{585} = \frac{845 \times 18}{117} = \frac{65 \times 18}{9} = 65 \times 2 = 130$ सेकंड। अतः सही उत्तर (c) है।
In a circular race of 4800m, A and B start from the same point and at the same time with speeds of 36 km/h and 54 km/h. When will they meet again for the first time on the track if they are running in the opposite direction?
4800 मीटर की एक वृत्ताकार दौड़ में, A और B एक ही बिंदु से और एक ही समय पर 36 किमी/घंटा और 54 किमी/घंटा की गति से शुरुआत करते हैं। यदि वे विपरीत दिशा में दौड़ रहे हैं तो वे ट्रैक पर पहली बार फिर से कब मिलेंगे?
(A) (a) 200 second
(B) (b) 205 second
(C) (c) 178 second
(D) (d) 192 second
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 192 secondExplanation: Method 1 (Relative Speed Method): Step 1: विपरीत दिशा में सापेक्ष गति निकालें: $$\text{सापेक्ष गति} = 36 + 54 = 90\text{ किमी/घंटा}$$ मीटर/सेकंड में बदलने पर: $90 \times \frac{5}{18} = 25$ मीटर/सेकंड। Step 2: पहली बार मिलने में लगा समय: $$\text{समय} = \frac{4800}{25} = 192\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (d) 192 second है। Method 2 (Unit Proportion Method): Step 1: $\frac{4800}{25} = \frac{4800 \times 4}{100} = 192$ सेकंड। अतः सही उत्तर (d) है।
P and Q start running in opposite directions on a circular track from the same point. If their speeds are 10 m/s and 8 m/s, respectively, then after what time will they meet if the length of the track is 1620 m?
P और Q एक ही बिंदु से एक वृत्ताकार ट्रैक पर विपरीत दिशाओं में दौड़ना शुरू करते हैं। यदि उनकी गति क्रमशः 10 मीटर/सेकंड और 8 मीटर/सेकंड है, तो यदि ट्रैक की लंबाई 1620 मीटर है, तो वे कितने समय बाद मिलेंगे?
(A) (a) 85 sec
(B) (b) 90 sec
(C) (c) 95 sec
(D) (d) 80 sec
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 90 secExplanation: Method 1 (Relative Speed Method): Step 1: विपरीत दिशा में सापेक्ष गति निकालें: $$\text{सापेक्ष गति} = 10 + 8 = 18\text{ मीटर/सेकंड}$$ Step 2: मिलने में लगा समय: $$\text{समय} = \frac{\text{ट्रैक की लंबाई}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{1620}{18} = 90\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (b) 90 sec है। Method 2 (Formula Method): Step 1: $T = \frac{1620}{10 + 8} = \frac{1620}{18} = 90$ सेकंड। अतः सही उत्तर (b) है।
A and B are jogging around a park's circular track which has a perimeter of 1.2 km. They start from the same point at 6:00 a.m. and run in opposite directions. A's speed is 5 km/h, and B's speed is 7 km/h. At what time will they meet for the fifth time?
A और B एक पार्क के वृत्ताकार ट्रैक के चारों ओर जॉगिंग कर रहे हैं जिसकी परिधि 1.2 किमी है। वे सुबह 6:00 बजे एक ही बिंदु से शुरुआत करते हैं और विपरीत दिशाओं में दौड़ते हैं। A की गति 5 किमी/घंटा है, और B की गति 7 किमी/घंटा है। वे पाँचवीं बार किस समय मिलेंगे?
(A) (a) 6 : 25 AM
(B) (b) 6 : 30 AM
(C) (c) 6 : 45 AM
(D) (d) 7 : 00 AM
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 6 : 30 AMExplanation: Method 1 (Relative Speed & Multiple Meetings Method): Step 1: विपरीत दिशा में सापेक्ष गति: $$\text{सापेक्ष गति} = 5 + 7 = 12\text{ किमी/घंटा}$$ Step 2: 1 बार मिलने में लगा समय: $$T_1 = \frac{\text{परिधि}}{\text{सापेक्ष गति}} = \frac{1.2}{12} = 0.1\text{ घंटा} = 0.1 \times 60 = 6\text{ मिनट}$$ Step 3: 5वीं बार (fifth time) मिलने में लगा कुल समय: $$\text{कुल समय} = 5 \times 6\text{ मिनट} = 30\text{ मिनट}$$ Step 4: मिलने का वास्तविक समय निकालें: $$\text{समय} = 6:00\text{ a.m.} + 30\text{ मिनट} = 6:30\text{ AM}$$ अतः सही विकल्प (b) 6 : 30 AM है। Method 2 (Cumulative Distance Method): Step 1: 5 मुलाकातों में कुल दूरी = $5 \times 1.2 = 6.0$ किमी। Step 2: समय = $\frac{6.0}{12} = 0.5$ घंटा = 30 मिनट। समय = 6:00 AM + 30 मिनट = 6:30 AM. अतः सही उत्तर (b) है।
In a circular path of 619 m, Preeti and Rani start walking in opposite directions from the same point at the speed of 2.85 km/h and 5.4 km/h, respectively. When they will meet for the first time approximately?
619 मीटर के एक वृत्ताकार पथ में, प्रीति और रानी एक ही बिंदु से क्रमशः 2.85 किमी/घंटा और 5.4 किमी/घंटा की गति से विपरीत दिशाओं में चलना शुरू करती हैं। वे पहली बार लगभग कब मिलेंगी?
(A) (a) After 6.75 minutes
(B) (b) After 4.75 minutes
(C) (c) After 6.05 minutes
(D) (d) After 4.50 minutes
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) After 4.50 minutesExplanation: Method 1 (Relative Speed Method): Step 1: विपरीत दिशा में सापेक्ष गति निकालें: $$\text{सापेक्ष गति} = 2.85 + 5.4 = 8.25\text{ किमी/घंटा}$$ Step 2: गति को मीटर/मिनट में बदलें: $$\text{गति} = 8.25 \times \frac{1000}{60} = \frac{8250}{60} = 137.5\text{ मीटर/मिनट}$$ Step 3: पहली बार मिलने में लगा समय (मिनटों में): $$\text{समय} = \frac{619}{137.5} \approx 4.5018\text{ मिनट} \approx 4.50\text{ मिनट}$$ अतः सही विकल्प (d) After 4.50 minutes है। Method 2 (Second Conversion Method): Step 1: सापेक्ष गति = $8.25 \times \frac{5}{18} = \frac{41.25}{18} \approx 2.2917$ मीटर/सेकंड। Step 2: समय (सेकंड में) = $619 / 2.2917 \approx 270.1$ सेकंड। Step 3: मिनट = $270.1 / 60 \approx 4.50$ मिनट। अतः सही उत्तर (d) है।
On a circular path of 693 m, Sujata and Anjali start walking from the same point but in the opposite directions at the speed of 2.85 km/h and 1.5 m/sec, respectively. When they will meet for the first time?
693 मीटर के एक वृत्ताकार पथ पर, सुजाता और अंजलि एक ही बिंदु से लेकिन विपरीत दिशाओं में क्रमशः 2.85 किमी/घंटा और 1.5 मीटर/सेकंड की गति से चलना शुरू करती हैं। वे पहली बार कब मिलेंगी?
(A) (a) After 6.75 min.
(B) (b) After 6.05 min.
(C) (c) After 5.04 min.
(D) (d) After 4.56 min.
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) After 5.04 min.Explanation: Method 1 (Uniform Unit Conversion Method): Step 1: दोनों की गतियों को मीटर/मिनट में बदलें: - सुजाता की गति = $2.85 \times \frac{1000}{60} = 47.5$ मीटर/मिनट - अंजलि की गति = $1.5 \times 60 = 90$ मीटर/मिनट Step 2: विपरीत दिशा में सापेक्ष गति: $$\text{सापेक्ष गति} = 47.5 + 90 = 137.5\text{ मीटर/मिनट}$$ Step 3: पहली बार मिलने में लगा समय (मिनटों में): $$\text{समय} = \frac{693}{137.5} = \frac{6930}{1375} = \frac{2772}{550} = 5.04\text{ मिनट}$$ अतः सही विकल्प (c) After 5.04 min. है। Method 2 (Seconds Conversion Method): Step 1: सुजाता की गति = $2.85 \times \frac{5}{18} = \frac{14.25}{18} = \frac{4.75}{6} \approx 0.7917$ मीटर/सेकंड। Step 2: कुल सापेक्ष गति = $0.7917 + 1.5 = 2.2917$ मीटर/सेकंड। Step 3: समय = $\frac{693}{2.2917} = 302.4$ सेकंड = $\frac{302.4}{60} = 5.04$ मिनट। अतः सही उत्तर (c) है।
In a circular race of 1600 m in length, Bhaskar and Vinay start with speeds of 27 km/h and 45 km/h starting at the same time from the same point. When will they meet for the first time on the track when running in the opposite directions and the same direction, respectively?
1600 मीटर लंबाई की एक वृत्ताकार दौड़ में, भास्कर और विनय एक ही बिंदु से एक ही समय पर 27 किमी/घंटा और 45 किमी/घंटा की गति से शुरुआत करते हैं। विपरीत दिशाओं में और समान दिशा में दौड़ते समय वे ट्रैक पर पहली बार क्रमशः कब मिलेंगे?
(A) (a) 1 min 20 sec, 5 min 20 sec
(B) (b) 1 min 40 sec, 5 min 20 sec
(C) (c) 2 min 40 sec, 5 min 40 sec
(D) (d) 2 min 20 sec, 4 min 20 sec
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 1 min 20 sec, 5 min 20 secExplanation: Method 1 (Two-Case Relative Speed Method): Step 1: स्थिति 1 (विपरीत दिशा में): सापेक्ष गति = $27 + 45 = 72$ किमी/घंटा = $72 \times \frac{5}{18} = 20$ मीटर/सेकंड। मिलने में लगा समय = $\frac{1600}{20} = 80$ सेकंड = 1 मिनट 20 सेकंड। Step 2: स्थिति 2 (समान दिशा में): सापेक्ष गति = $45 - 27 = 18$ किमी/घंटा = $18 \times \frac{5}{18} = 5$ मीटर/सेकंड। मिलने में लगा समय = $\frac{1600}{5} = 320$ सेकंड = 5 मिनट 20 सेकंड। Step 3: क्रमशः समय = 1 मिनट 20 सेकंड, 5 मिनट 20 सेकंड। अतः सही विकल्प (a) 1 min 20 sec, 5 min 20 sec है। Method 2 (Direct Conversion Verification): - विपरीत: 80s = 1 min 20 sec - समान: 320s = 5 min 20 sec अतः सही उत्तर (a) है।
Anjali and Babita are running on a circular track in opposite directions at same time from same point with speeds of 8 m/sec and 6 m/sec, respectively. If the length of the circular track is 960 m, how many times distinct points they will meet?
अंजलि और बबीता एक वृत्ताकार ट्रैक पर विपरीत दिशाओं में एक ही बिंदु से एक ही समय पर क्रमशः 8 मीटर/सेकंड और 6 मीटर/सेकंड की गति से दौड़ रही हैं। यदि वृत्ताकार ट्रैक की लंबाई 960 मीटर है, तो वे कितने अलग-अलग (विशिष्ट) बिंदुओं पर मिलेंगी?
(A) (a) 7 times
(B) (b) 6 times
(C) (c) 12 times
(D) (d) 14 times
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 7 timesExplanation: Method 1 (Speed Ratio Simplification Rule): Step 1: दोनों की गतियों का सरलतम अनुपात निकालें: $$S_1 : S_2 = 8 : 6 = 4 : 3$$ यहाँ $a = 4$ और $b = 3$ सह-अभाज्य (co-prime) संख्याएँ हैं। Step 2: वृत्ताकार ट्रैक पर विपरीत दिशाओं में दौड़ते हुए विशिष्ट (distinct) मिलने वाले बिंदुओं की संख्या: $$\text{विशिष्ट बिंदुओं की संख्या} = a + b = 4 + 3 = 7$$ अतः वे ट्रैक पर 7 अलग-अलग बिंदुओं पर मिलेंगी। अतः सही विकल्प (a) 7 times है। Method 2 (Track Division Concept): Step 1: प्रत्येक मिलन में तय कोण = $\frac{360^\circ}{4 + 3} = \frac{360^\circ}{7}$. Step 2: 7 मिलनों के बाद वे पुनः प्रारंभिक बिंदु पर पहुँचेंगी और वही बिंदु दोहराए जाएंगे। अतः कुल 7 विशिष्ट बिंदु होंगे। अतः सही उत्तर (a) है।
Two persons started running on a circular track at a speed of 20 m/s and 30 m/s in opposite directions. If the circumference of the circular track is 100 m, find at how many distinct points they will cross each other?
दो व्यक्तियों ने एक वृत्ताकार ट्रैक पर विपरीत दिशाओं में 20 मीटर/सेकंड और 30 मीटर/सेकंड की गति से दौड़ना शुरू किया। यदि वृत्ताकार ट्रैक की परिधि 100 मीटर है, तो ज्ञात कीजिए कि वे कितने अलग-अलग (विशिष्ट) बिंदुओं पर एक-दूसरे को पार करेंगे?
(A) (a) 2
(B) (b) 3
(C) (c) 5
(D) (d) 10
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 5Explanation: Method 1 (Co-prime Ratio Rule): Step 1: गतियों का सरलतम अनुपात निकालें: $$S_1 : S_2 = 20 : 30 = 2 : 3$$ यहाँ अनुपात $a : b = 2 : 3$ है, जहाँ $\gcd(2, 3) = 1$. Step 2: विपरीत दिशा में दौड़ने पर विशिष्ट मिलन बिंदुओं की संख्या: $$\text{विशिष्ट बिंदु} = a + b = 2 + 3 = 5$$ अतः वे ट्रैक पर 5 अलग-अलग बिंदुओं पर एक-दूसरे को पार करेंगे। अतः सही विकल्प (c) 5 है। Method 2 (Coordinates Method): Step 1: सापेक्ष गति = $20 + 30 = 50$ मीटर/सेकंड। Step 2: प्रत्येक मिलन का समय = $100 / 50 = 2$ सेकंड। Step 3: 2 सेकंड में पहले व्यक्ति द्वारा तय दूरी = $2 \times 20 = 40$ मीटर। मिलन बिंदु (0 से दूरी): 40m, 80m, 120m (= 20m), 160m (= 60m), 200m (= 0m शुरुआती बिंदु)। कुल अलग-अलग बिंदु = {0, 20, 40, 60, 80} = 5 बिंदु। अतः सही उत्तर (c) है।
M and N walk along a circular track. They start at 5:00 a.m. from the same point in the opposite directions. M and N walk at a speed of 5 rounds per hour and 2 rounds per hour, respectively. How many times will they cross each other before 6:30 a.m. on the same day?
M और N एक वृत्ताकार ट्रैक पर चलते हैं। वे एक ही बिंदु से सुबह 5:00 बजे विपरीत दिशाओं में चलना शुरू करते हैं। M और N क्रमशः 5 चक्कर प्रति घंटा और 2 चक्कर प्रति घंटा की गति से चलते हैं। उसी दिन सुबह 6:30 बजे से पहले वे एक-दूसरे को कितनी बार पार करेंगे?
(A) (a) 10
(B) (b) 3
(C) (c) 5
(D) (d) 7
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 10Explanation: Method 1 (Relative Rounds Rate Method): Step 1: विपरीत दिशा में चलने पर सापेक्ष गति (चक्कर प्रति घंटा): $$\text{सापेक्ष गति} = 5 + 2 = 7\text{ चक्कर/घंटा}$$ Step 2: सुबह 5:00 बजे से 6:30 बजे तक का कुल समय = 1 घंटा 30 मिनट = 1.5 घंटे। Step 3: 1.5 घंटे में पार करने (क्रॉस करने) की कुल संख्या: $$\text{संख्या} = 7 \times 1.5 = 10.5$$ Step 4: 6:30 a.m. से पहले वे पूर्णांक 10 बार एक-दूसरे को पार कर चुके होंगे। अतः सही विकल्प (a) 10 है। Method 2 (Time Interval Method): Step 1: 1 बार मिलने में लगा समय = $\frac{1}{7}$ घंटा = $\frac{60}{7}$ मिनट। Step 2: कुल समय = 90 मिनट। $$\text{संख्या} = \left\lfloor \frac{90}{60/7} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{630}{60} \right\rfloor = \lfloor 10.5 \rfloor = 10\text{ बार}$$ अतः सही उत्तर (a) है।
Seema walks around a circular field at the rate of 3 rounds per hour, while Priya runs around it at the rate of 8 rounds per hour. They start in the same direction from the same point at 11:54 p.m. They shall first cross each other at:
सीमा 3 चक्कर प्रति घंटे की गति से एक वृत्ताकार मैदान के चारों ओर चलती है, जबकि प्रिया 8 चक्कर प्रति घंटे की गति से इसके चारों ओर दौड़ती है। वे रात 11:54 बजे एक ही बिंदु से एक ही दिशा में शुरुआत करती हैं। वे पहली बार एक-दूसरे को किस समय पार करेंगी?
(A) (a) 12:06 p.m.
(B) (b) 12:00 a.m.
(C) (c) 12:06 a.m.
(D) (d) 11:59 p.m.
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 12:06 a.m.Explanation: Method 1 (Relative Speed Method): Step 1: समान दिशा में सापेक्ष गति निकालें: $$\text{सापेक्ष गति} = 8 - 3 = 5\text{ चक्कर/घंटा}$$ Step 2: 1 चक्कर की बढ़त बनाने (पहली बार पार करने) में लगा समय: $$\text{समय} = \frac{1}{5}\text{ घंटा} = \frac{1}{5} \times 60 = 12\text{ मिनट}$$ Step 3: पार करने का वास्तविक समय निकालें: $$\text{समय} = 11:54\text{ p.m.} + 12\text{ मिनट} = 12:06\text{ a.m. (मध्यरात्रि के बाद)}$$ अतः सही विकल्प (c) 12:06 a.m. है। Method 2 (Fractional Minute Method): Step 1: 11:54 p.m. से 12 मिनट जोड़ने पर: 6 मिनट में 12:00 a.m. (मध्यरात्रि) और अगले 6 मिनट में 12:06 a.m. अतः सही उत्तर (c) है।
Joy and Kat run around a circular track of length 1100 m in opposite directions with initial speed of 6 m/sec and 4 m/sec, respectively. Starting from the same point whenever they meet, Joy's speed halves and Kat's speed doubles. After how much time from the beginning will they meet for the second time?
जॉय और कैट क्रमशः 6 मीटर/सेकंड और 4 मीटर/सेकंड की प्रारंभिक गति से विपरीत दिशाओं में 1100 मीटर लंबे वृत्ताकार ट्रैक पर दौड़ते हैं। जब भी वे मिलते हैं, उसी बिंदु से जॉय की गति आधी हो जाती है और कैट की गति दोगुनी हो जाती है। शुरुआत से कितने समय बाद वे दूसरी बार मिलेंगे?
(A) (a) 220 sec
(B) (b) 210 sec
(C) (c) 190 sec
(D) (d) 200 sec
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 200 secExplanation: Method 1 (Two-Stage Interval Method): Step 1: चरण 1 (पहली बार मिलना): प्रारंभिक गतियाँ = 6 मीटर/सेकंड और 4 मीटर/सेकंड (विपरीत दिशा)। सापेक्ष गति = 6 + 4 = 10 मीटर/सेकंड। पहली बार मिलने में लगा समय ($t_1$): $$t_1 = \frac{1100}{10} = 110\text{ सेकंड}$$ Step 2: चरण 2 (दूसरी बार मिलना): पहली मुलाकात के बाद नई गतियाँ: - जॉय की गति = $6 / 2 = 3$ मीटर/सेकंड - कैट की गति = $4 \times 2 = 8$ मीटर/सेकंड नई सापेक्ष गति = 3 + 8 = 11 मीटर/सेकंड। दूसरी बार मिलने में लगा अतिरिक्त समय ($t_2$): $$t_2 = \frac{1100}{11} = 100\text{ सेकंड}$$ Step 3: शुरुआत से कुल समय: $$\text{कुल समय} = t_1 + t_2 = 110 + 100 = 210\text{ सेकंड (विकल्प b)} \text{ अथवा } 200\text{ सेकंड}$$ (यदि गणना $t_1 = 110$ और $t_2 = 90$ हो, मानक उत्तर 200/210 में से)। सटीक गणितीय योग $110 + 100 = 210$ सेकंड (विकल्प b) है। अतः सही विकल्प (b) 210 sec है। Method 2 (Relative Speed Summation): $t = \frac{1100}{6+4} + \frac{1100}{3+8} = \frac{1100}{10} + \frac{1100}{11} = 110 + 100 = 210$ सेकंड। अतः सही उत्तर (b) है।
A, B and C run simultaneously, starting from a point, around a circular track of length 1200m, at respective speeds of 2m/s, 4m/s and 6m/s. A and B run in the same direction, while C runs in the opposite direction to the other two. After how much time will they meet for the first time?
A, B और C एक बिंदु से 1200 मीटर लंबे वृत्ताकार ट्रैक पर क्रमशः 2 मीटर/सेकंड, 4 मीटर/सेकंड और 6 मीटर/सेकंड की गति से एक साथ दौड़ना शुरू करते हैं। A और B एक ही दिशा में दौड़ते हैं, जबकि C अन्य दोनों के विपरीत दिशा में दौड़ता है। वे पहली बार कितने समय बाद मिलेंगे?
(A) (a) 10 minutes
(B) (b) 9 minutes
(C) (c) 12 minutes
(D) (d) 11 minutes
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 10 minutesExplanation: Method 1 (LCM of Pairwise Meeting Times Method): Step 1: युग्मों के मिलने का समय निकालें: - A और B (समान दिशा में): सापेक्ष गति = $4 - 2 = 2$ मीटर/सेकंड। $$T_{AB} = \frac{1200}{2} = 600\text{ सेकंड}$$ - A और C (विपरीत दिशा में): सापेक्ष गति = $2 + 6 = 8$ मीटर/सेकंड। $$T_{AC} = \frac{1200}{8} = 150\text{ सेकंड}$$ - B और C (विपरीत दिशा में): सापेक्ष गति = $4 + 6 = 10$ मीटर/सेकंड। $$T_{BC} = \frac{1200}{10} = 120\text{ सेकंड}$$ Step 2: तीनों के पहली बार एक साथ मिलने का समय इन समयों का LCM होता है: $$\text{समय} = \text{LCM}(T_{AB}, T_{AC}, T_{BC}) = \text{LCM}(600, 150, 120) = 600\text{ सेकंड}$$ Step 3: सेकंड को मिनट में बदलें: $$\text{समय} = \frac{600}{60} = 10\text{ मिनट}$$ अतः सही विकल्प (a) 10 minutes है। Method 2 (Relative Lap Verification): Step 1: 600 सेकंड में: - A के चक्कर = $600 \times 2 / 1200 = 1$ चक्कर - B के चक्कर = $600 \times 4 / 1200 = 2$ चक्कर - C के चक्कर = $600 \times 6 / 1200 = 3$ चक्कर (विपरीत दिशा) तीनों ठीक 600 सेकंड (10 मिनट) बाद शुरुआती बिंदु पर एक साथ मिलते हैं। अतः सही उत्तर (a) है।
Two people A and B started running from the same point on a circular track of length 400 m in opposite directions with initial speeds of 10 m/s and 40 m/s, respectively. Whenever they meet, A's speed doubles and B's speed halves. After what time from the start will they meet for the third time?
दो व्यक्ति A और B 400 मीटर लंबे वृत्ताकार ट्रैक पर विपरीत दिशाओं में क्रमशः 10 मीटर/सेकंड और 40 मीटर/सेकंड की प्रारंभिक गति से एक ही बिंदु से दौड़ना शुरू करते हैं। जब भी वे मिलते हैं, A की गति दोगुनी हो जाती है और B की गति आधी हो जाती है। शुरुआत से कितने समय बाद वे तीसरी बार मिलेंगे?
(A) (a) 30 sec
(B) (b) 24 sec
(C) (c) 26 sec
(D) (d) 28 sec
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 26 secExplanation: Method 1 (Step-by-Step Multi-Stage Method): Step 1: पहली मुलाकात तक का समय ($t_1$): गति: $A = 10$ m/s, $B = 40$ m/s (विपरीत दिशा)। सापेक्ष गति = $10 + 40 = 50$ m/s. $$t_1 = \frac{400}{50} = 8\text{ सेकंड}$$ Step 2: दूसरी मुलाकात तक का समय ($t_2$): नई गति: $A = 10 \times 2 = 20$ m/s, $B = 40 / 2 = 20$ m/s. सापेक्ष गति = $20 + 20 = 40$ m/s. $$t_2 = \frac{400}{40} = 10\text{ सेकंड}$$ Step 3: तीसरी मुलाकात तक का समय ($t_3$): नई गति: $A = 20 \times 2 = 40$ m/s, $B = 20 / 2 = 10$ m/s. सापेक्ष गति = $40 + 10 = 50$ m/s. $$t_3 = \frac{400}{50} = 8\text{ सेकंड}$$ Step 4: शुरुआत से कुल समय: $$\text{कुल समय} = t_1 + t_2 + t_3 = 8 + 10 + 8 = 26\text{ सेकंड}$$ अतः सही विकल्प (c) 26 sec है। Method 2 (Direct Summation): $T = \frac{400}{10+40} + \frac{400}{20+20} + \frac{400}{40+10} = 8 + 10 + 8 = 26$ सेकंड। अतः सही उत्तर (c) है।
Three friends, X, Y, and Z are cycling on a circular track with a circumference of 2 km. They all start from the same point at 9:00 a.m. and travel in the same direction with speeds of 10 km/h, 12 km/h and 15 km/h respectively. How many times will all three of them meet at the starting point if they continue cycling until 1:00 p.m.?
तीन दोस्त X, Y और Z, 2 किमी की परिधि वाले एक वृत्ताकार ट्रैक पर साइकिल चला रहे हैं। वे सभी सुबह 9:00 बजे एक ही बिंदु से शुरुआत करते हैं और क्रमशः 10 किमी/घंटा, 12 किमी/घंटा और 15 किमी/घंटा की गति से एक ही दिशा में यात्रा करते हैं। यदि वे दोपहर 1:00 बजे तक साइकिल चलाना जारी रखते हैं, तो वे तीनों शुरुआती बिंदु पर कितनी बार मिलेंगे?
(A) (a) 1 time
(B) (b) 2 times
(C) (c) 3 times
(D) (d) 4 times
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) 2 timesExplanation: Method 1 (LCM of Lap Times Method): Step 1: प्रत्येक द्वारा 1 पूरा चक्कर लगाने में लिया गया समय निकालें: - X का समय = $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}\text{ घंटा} = 12\text{ मिनट}$ - Y का समय = $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}\text{ घंटा} = 10\text{ मिनट}$ - Z का समय = $\frac{2}{15}\text{ घंटा} = \frac{2}{15} \times 60 = 8\text{ मिनट}$ Step 2: शुरुआती बिंदु पर मिलने का समय = $\text{LCM}(12, 10, 8)$ मिनट: $$\text{LCM}(12, 10, 8) = 120\text{ मिनट} = 2\text{ घंटे}$$ अर्थात वे प्रत्येक 2 घंटे के बाद शुरुआती बिंदु पर मिलते हैं। Step 3: कुल अवधि = सुबह 9:00 बजे से दोपहर 1:00 बजे तक = 4 घंटे। Step 4: शुरुआती बिंदु पर मिलने की संख्या (प्रारंभ के बाद): - पहली बार = सुबह 11:00 बजे (2 घंटे बाद) - दूसरी बार = दोपहर 1:00 बजे (4 घंटे बाद) कुल मिलने की संख्या = $\frac{4}{2} = 2$ बार। अतः सही विकल्प (b) 2 times है। Method 2 (Frequency Method): 120 मिनट = 2 घंटे। 4 घंटे में $4 / 2 = 2$ बार। अतः सही उत्तर (b) है।