Mathematics: Trignometry Identities ke liye free mock test: 41 questions, timer, negative marking aur explanation ke saath. Koi login nahi, koi payment nahi — turant shuru karein.
Mathematics: Trignometry Identities ke liye ye 41 questions ka practice set General Knowledge pattern par banaya gaya hai. Test me 45 second per question ka timer hai aur har galat answer par 0.25 marks kate jaate hain — bilkul asli exam jaisa. Submit karne ke baad aapko exact score, accuracy aur har question ka explanation milta hai. Bihar ke competitive exams (BPSC, BSSC, Bihar Police, BTSC) ki tayari karne wale students ke liye.
Neeche is set ke kuch questions hain — inhi par aapka timed test banega. Answer dekhne ke liye “Answer” par click karein.
The numerical value of $\frac{5}{\sec^2\theta} + \frac{2}{1 + \cot^2\theta} + 3\sin^2\theta$ is:
$\frac{5}{\sec^2\theta} + \frac{2}{1 + \cot^2\theta} + 3\sin^2\theta$ का संख्यात्मक मान क्या है?
(A) (a) 5
(B) (b) 2
(C) (c) 3
(D) (d) 4
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) 5Explanation: Method 1 (Standard Trigonometric Identities Method): Step 1: बुनियादी त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करें: $$\frac{1}{\sec^2\theta} = \cos^2\theta, \quad 1 + \cot^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta, \quad \frac{1}{\operatorname{cosec}^2\theta} = \sin^2\theta$$ Step 2: दिए गए व्यंजक में मान प्रतिस्थापित करने पर: $$5\cos^2\theta + 2\sin^2\theta + 3\sin^2\theta$$ Step 3: पदों को संयोजित करने पर: $$5\cos^2\theta + 5\sin^2\theta = 5(\cos^2\theta + \sin^2\theta)$$ चूँकि $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ होता है: $$5 \times 1 = 5$$ अतः सही विकल्प (a) 5 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 45^\circ$ मान रखने पर: $$\sec 45^\circ = \sqrt{2}, \quad \cot 45^\circ = 1, \quad \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ Step 2: मान रखने पर: $$\frac{5}{(\sqrt{2})^2} + \frac{2}{1 + 1^2} + 3\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{5}{2} + \frac{2}{2} + \frac{3}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ अतः सही उत्तर (a) है।
The numerical value of $\left(\frac{1}{1 + \cot^2\theta} + \frac{3}{1 + \tan^2\theta} + 2\sin^2\theta\right)$ is:
$\left(\frac{1}{1 + \cot^2\theta} + \frac{3}{1 + \tan^2\theta} + 2\sin^2\theta\right)$ का संख्यात्मक मान क्या है?
(A) (a) 2
(B) (b) 5
(C) (c) 6
(D) (d) 3
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 3Explanation: Method 1 (Identity Simplification Method): Step 1: मानक सर्वसमिकाएँ लागू करने पर: $$1 + \cot^2\theta = \operatorname{cosec}^2\theta \implies \frac{1}{1 + \cot^2\theta} = \sin^2\theta$$ $$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta \implies \frac{1}{1 + \tan^2\theta} = \cos^2\theta$$ Step 2: व्यंजक में रखने पर: $$\sin^2\theta + 3\cos^2\theta + 2\sin^2\theta = 3\sin^2\theta + 3\cos^2\theta$$ $$= 3(\sin^2\theta + \cos^2\theta) = 3 \times 1 = 3$$ अतः सही विकल्प (d) 3 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$\cot 45^\circ = 1, \quad \tan 45^\circ = 1, \quad \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ Step 2: मान रखने पर: $$\frac{1}{1 + 1} + \frac{3}{1 + 1} + 2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 1 = 2 + 1 = 3$$ अतः सही उत्तर (d) है।
The numerical value of $\left(\frac{1}{\cos\theta} + \frac{1}{\cot\theta}\right)\left(\frac{1}{\cos\theta} - \frac{1}{\cot\theta}\right)$ is:
$\left(\frac{1}{\cos\theta} + \frac{1}{\cot\theta}\right)\left(\frac{1}{\cos\theta} - \frac{1}{\cot\theta}\right)$ का संख्यात्मक मान क्या है?
(A) (a) 0
(B) (b) -1
(C) (c) 1
(D) (d) 2
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 1Explanation: Method 1 (Algebraic and Trigonometric Identity Method): Step 1: दिए गए व्यंजक में पदों को परिवर्तित करें: $$\frac{1}{\cos\theta} = \sec\theta, \quad \frac{1}{\cot\theta} = \tan\theta$$ Step 2: व्यंजक रूप लेता है: $$(\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta)$$ Step 3: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ सूत्र लागू करने पर: $$\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$$ अतः सही विकल्प (c) 1 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \implies \frac{1}{\cos 45^\circ} = \sqrt{2}$$ $$\cot 45^\circ = 1 \implies \frac{1}{\cot 45^\circ} = 1$$ Step 2: व्यंजक में रखने पर: $$(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$$ अतः सही उत्तर (c) है।
The value of $\frac{\sin A}{1 + \cos A} + \frac{\sin A}{1 - \cos A}$ is ($0^\circ < A < 90^\circ$):
$\frac{\sin A}{1 + \cos A} + \frac{\sin A}{1 - \cos A}$ का मान क्या है ($0^\circ < A < 90^\circ$):
(A) (a) $2\operatorname{cosec} A$
(B) (b) $2\sec A$
(C) (c) $2\sin A$
(D) (d) $2\cos A$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) $2\operatorname{cosec} A$Explanation: Method 1 (Algebraic Fraction Method): Step 1: $\sin A$ को उभयनिष्ठ (common) लेने पर: $$\sin A \left[ \frac{1}{1 + \cos A} + \frac{1}{1 - \cos A} \right]$$ Step 2: लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर: $$\sin A \left[ \frac{(1 - \cos A) + (1 + \cos A)}{(1 + \cos A)(1 - \cos A)} \right] = \sin A \left[ \frac{2}{1 - \cos^2 A} \right]$$ Step 3: चूँकि $1 - \cos^2 A = \sin^2 A$: $$= \sin A \cdot \frac{2}{\sin^2 A} = \frac{2}{\sin A} = 2\operatorname{cosec} A$$ अतः सही विकल्प (a) $2\operatorname{cosec} A$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $A = 30^\circ$ रखने पर: $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\frac{1/2}{1 + \sqrt{3}/2} + \frac{1/2}{1 - \sqrt{3}/2} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}} + \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = (2 - \sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) = 4$$ Step 2: विकल्पों की जाँच ($A = 30^\circ$ पर): (a) $2\operatorname{cosec} 30^\circ = 2 \times 2 = 4$ (संतुष्ट होता है)। अतः सही उत्तर (a) है।
The numerical value of $1 + \frac{1}{\cot^2 63^\circ} - \sec^2 27^\circ + \frac{1}{\sin^2 63^\circ} - \operatorname{cosec}^2 27^\circ$ is:
$1 + \frac{1}{\cot^2 63^\circ} - \sec^2 27^\circ + \frac{1}{\sin^2 63^\circ} - \operatorname{cosec}^2 27^\circ$ का संख्यात्मक मान क्या है?
(A) (a) 1
(B) (b) 2
(C) (c) -1
(D) (d) 0
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) 0Explanation: Method 1 (Complementary Angle Relations Method): Step 1: पदों को सरल करें: $$\frac{1}{\cot^2 63^\circ} = \tan^2 63^\circ, \quad \frac{1}{\sin^2 63^\circ} = \operatorname{cosec}^2 63^\circ$$ Step 2: पूरक कोण सूत्रों (Complementary angles) का प्रयोग करें ($63^\circ = 90^\circ - 27^\circ$): $$\tan 63^\circ = \cot 27^\circ \implies \tan^2 63^\circ = \cot^2 27^\circ$$ $$\operatorname{cosec} 63^\circ = \sec 27^\circ \implies \operatorname{cosec}^2 63^\circ = \sec^2 27^\circ$$ Step 3: मानों को व्यंजक में रखने पर: $$1 + \cot^2 27^\circ - \sec^2 27^\circ + \sec^2 27^\circ - \operatorname{cosec}^2 27^\circ$$ $-\sec^2 27^\circ$ और $+\sec^2 27^\circ$ निरस्त हो जाते हैं: $$= (1 + \cot^2 27^\circ) - \operatorname{cosec}^2 27^\circ$$ चूँकि $1 + \cot^2 27^\circ = \operatorname{cosec}^2 27^\circ$ होता है: $$= \operatorname{cosec}^2 27^\circ - \operatorname{cosec}^2 27^\circ = 0$$ अतः सही विकल्प (d) 0 है।
If $\tan 9^\circ = \frac{p}{q}$, then the value of $\frac{\sec^2 81^\circ}{1 + \cot^2 81^\circ}$ is:
यदि $\tan 9^\circ = \frac{p}{q}$ है, तो $\frac{\sec^2 81^\circ}{1 + \cot^2 81^\circ}$ का मान क्या होगा?
(A) (a) $\frac{p}{q}$
(B) (b) 1
(C) (c) $\frac{p^2}{q^2}$
(D) (d) $\frac{q^2}{p^2}$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) $\frac{q^2}{p^2}$Explanation: Method 1 (Simplification and Complementary Angle Method): Step 1: हर को मानक सर्वसमिका से सरल करें: $$1 + \cot^2 81^\circ = \operatorname{cosec}^2 81^\circ$$ Step 2: दिए गए व्यंजक का मान निकालें: $$\frac{\sec^2 81^\circ}{\operatorname{cosec}^2 81^\circ} = \frac{1/\cos^2 81^\circ}{1/\sin^2 81^\circ} = \frac{\sin^2 81^\circ}{\cos^2 81^\circ} = \tan^2 81^\circ$$ Step 3: पूरक कोण संबंध लागू करने पर ($81^\circ = 90^\circ - 9^\circ$): $$\tan 81^\circ = \cot 9^\circ = \frac{1}{\tan 9^\circ}$$ Step 4: मान रखने पर: $$\tan 9^\circ = \frac{p}{q} \implies \cot 9^\circ = \frac{q}{p}$$ $$\tan^2 81^\circ = (\cot 9^\circ)^2 = \left(\frac{q}{p}\right)^2 = \frac{q^2}{p^2}$$ अतः सही विकल्प (d) $\frac{q^2}{p^2}$ है।
$\sin^6\theta + \cos^6\theta + 3\sin^2\theta \cos^2\theta = ?$
$\sin^6\theta + \cos^6\theta + 3\sin^2\theta \cos^2\theta$ का मान क्या है?
(A) (a) 0
(B) (b) $-\frac{1}{2}$
(C) (c) 1
(D) (d) $\frac{1}{3}$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) 1Explanation: Method 1 (Algebraic Identity Method): Step 1: $a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)$ का उपयोग करने पर: यहाँ $a = \sin^2\theta$ तथा $b = \cos^2\theta$ मान लें: $$\sin^6\theta + \cos^6\theta = (\sin^2\theta)^3 + (\cos^2\theta)^3$$ $$= (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^3 - 3\sin^2\theta \cos^2\theta(\sin^2\theta + \cos^2\theta)$$ Step 2: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ रखने पर: $$\sin^6\theta + \cos^6\theta = (1)^3 - 3\sin^2\theta \cos^2\theta(1) = 1 - 3\sin^2\theta \cos^2\theta$$ Step 3: दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $$(1 - 3\sin^2\theta \cos^2\theta) + 3\sin^2\theta \cos^2\theta = 1$$ अतः सही विकल्प (c) 1 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 0^\circ$ रखने पर: $$\sin 0^\circ = 0, \quad \cos 0^\circ = 1$$ $$0^6 + 1^6 + 3(0)^2(1)^2 = 0 + 1 + 0 = 1$$ अतः सही उत्तर (c) है।
What is the value of $\frac{1}{\sin^4(90^\circ - \theta)} + \frac{1}{[\cos^2(90^\circ - \theta) - 1]}$?
$\frac{1}{\sin^4(90^\circ - \theta)} + \frac{1}{[\cos^2(90^\circ - \theta) - 1]}$ का मान क्या है?
(A) (a) $\tan^2\theta \sec^2\theta$
(B) (b) $\sec^4\theta$
(C) (c) $\tan^4\theta$
(D) (d) $\tan^2\theta \sin^2\theta$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) $\tan^2\theta \sec^2\theta$Explanation: Method 1 (Trigonometric Identity Simplification Method): Step 1: पूरक कोण सूत्रों का प्रयोग करने पर: $$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta \implies \sin^4(90^\circ - \theta) = \cos^4\theta$$ $$\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta \implies \cos^2(90^\circ - \theta) = \sin^2\theta$$ Step 2: व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $$\frac{1}{\cos^4\theta} + \frac{1}{\sin^2\theta - 1}$$ चूँकि $\sin^2\theta - 1 = -\cos^2\theta$ होता है: $$= \frac{1}{\cos^4\theta} - \frac{1}{\cos^2\theta}$$ Step 3: उभयनिष्ठ हर लेकर हल करने पर: $$= \frac{1 - \cos^2\theta}{\cos^4\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\cos^4\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} \cdot \frac{1}{\cos^2\theta} = \tan^2\theta \sec^2\theta$$ अतः सही विकल्प (a) $\tan^2\theta \sec^2\theta$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$\sin(90^\circ - 45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \cos(90^\circ - 45^\circ) = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\frac{1}{(1/\sqrt{2})^4} + \frac{1}{(1/\sqrt{2})^2 - 1} = \frac{1}{1/4} + \frac{1}{1/2 - 1} = 4 + \frac{1}{-1/2} = 4 - 2 = 2$$ Step 2: विकल्पों की जाँच ($ heta = 45^\circ$): (a) $\tan^2 45^\circ \sec^2 45^\circ = (1)^2 \times (\sqrt{2})^2 = 2$ (संतुष्ट)। अतः सही उत्तर (a) है।
What is the value of $\frac{1 + 2\cot^2(90^\circ - x) - 2\operatorname{cosec}(90^\circ - x)\cot(90^\circ - x)}{\operatorname{cosec}(90^\circ - x) - \cot(90^\circ - x)}$?
$\frac{1 + 2\cot^2(90^\circ - x) - 2\operatorname{cosec}(90^\circ - x)\cot(90^\circ - x)}{\operatorname{cosec}(90^\circ - x) - \cot(90^\circ - x)}$ का मान क्या है?
(A) (a) $\cos x + \sin x$
(B) (b) $\sin x - \cos x$
(C) (c) $\sec x + \tan x$
(D) (d) $\sec x - \tan x$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) $\sec x - \tan x$Explanation: Method 1 (Complementary Angle & Perfect Square Method): Step 1: पूरक कोण संबंध लागू करने पर: $$\cot(90^\circ - x) = \tan x, \quad \operatorname{cosec}(90^\circ - x) = \sec x$$ Step 2: व्यंजक को पुनः लिखने पर: $$\frac{1 + 2\tan^2 x - 2\sec x \tan x}{\sec x - \tan x}$$ Step 3: अंश में $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ रखने पर: $$1 + 2\tan^2 x = (1 + \tan^2 x) + \tan^2 x = \sec^2 x + \tan^2 x$$ अंश बन जाता है: $$\sec^2 x + \tan^2 x - 2\sec x \tan x = (\sec x - \tan x)^2$$ Step 4: हर से विभाजित करने पर: $$\frac{(\sec x - \tan x)^2}{\sec x - \tan x} = \sec x - \tan x$$ अतः सही विकल्प (d) $\sec x - \tan x$ है।
$\frac{2 + \tan^2\theta + \cot^2\theta}{\sec\theta \operatorname{cosec}\theta}$ is equal to:
$\frac{2 + \tan^2\theta + \cot^2\theta}{\sec\theta \operatorname{cosec}\theta}$ किसके बराबर है?
(A) (a) $\cot\theta$
(B) (b) $\cos\theta \sin\theta$
(C) (c) $\sec\theta \operatorname{cosec}\theta$
(D) (d) $\tan\theta$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) $\sec\theta \operatorname{cosec}\theta$Explanation: Method 1 (Identity Grouping Method): Step 1: अंश के 2 को $(1 + 1)$ में तोड़ें: $$2 + \tan^2\theta + \cot^2\theta = (1 + \tan^2\theta) + (1 + \cot^2\theta) = \sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta$$ Step 2: $\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta$ को $\sin$ और $\cos$ में बदलने पर: $$\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} + \frac{1}{\sin^2\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin^2\theta \cos^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta \cos^2\theta} = \sec^2\theta \operatorname{cosec}^2\theta$$ Step 3: दिए गए व्यंजक में मान रखने पर: $$\frac{\sec^2\theta \operatorname{cosec}^2\theta}{\sec\theta \operatorname{cosec}\theta} = \sec\theta \operatorname{cosec}\theta$$ अतः सही विकल्प (c) $\sec\theta \operatorname{cosec}\theta$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$\frac{2 + 1^2 + 1^2}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{4}{2} = 2$$ Step 2: विकल्पों की जाँच ($ heta = 45^\circ$): (c) $\sec 45^\circ \operatorname{cosec} 45^\circ = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ (संतुष्ट)। अतः सही उत्तर (c) है।
If $(1 + \tan^2\theta) + [1 + (\tan^2\theta)^{-1}] = k$, then $\sqrt{k} = ?$
यदि $(1 + \tan^2\theta) + [1 + (\tan^2\theta)^{-1}] = k$ है, तो $\sqrt{k}$ का मान क्या होगा?
(A) (a) $\sec\theta \operatorname{cosec}\theta$
(B) (b) $\cos\theta \operatorname{cosec}\theta$
(C) (c) $\sin\theta \cos\theta$
(D) (d) $\sec\theta \sin\theta$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) $\sec\theta \operatorname{cosec}\theta$Explanation: Method 1 (Standard Identity Method): Step 1: $(\tan^2\theta)^{-1} = \cot^2\theta$ होता है। दिए गए व्यंजक को पुनः लिखने पर: $$k = (1 + \tan^2\theta) + (1 + \cot^2\theta)$$ Step 2: सर्वसमिकाएँ लागू करने पर: $$k = \sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta$$ Step 3: $\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta = \sec^2\theta \operatorname{cosec}^2\theta$ होता है: $$k = \frac{1}{\cos^2\theta} + \frac{1}{\sin^2\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin^2\theta \cos^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta \cos^2\theta} = \sec^2\theta \operatorname{cosec}^2\theta$$ Step 4: वर्गमूल लेने पर: $$\sqrt{k} = \sqrt{\sec^2\theta \operatorname{cosec}^2\theta} = \sec\theta \operatorname{cosec}\theta$$ अतः सही विकल्प (a) $\sec\theta \operatorname{cosec}\theta$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$k = (1 + 1) + (1 + 1) = 4 \implies \sqrt{k} = \sqrt{4} = 2$$ Step 2: विकल्प (a): $\sec 45^\circ \operatorname{cosec} 45^\circ = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ (संतुष्ट)। अतः सही उत्तर (a) है।
$\frac{(\sec\theta + \tan\theta)(1 - \sin\theta)}{\operatorname{cosec}\theta(1 + \cos\theta)(\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta)}$ is equal to:
$\frac{(\sec\theta + \tan\theta)(1 - \sin\theta)}{\operatorname{cosec}\theta(1 + \cos\theta)(\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta)}$ किसके बराबर है?
(A) (a) $\sin\theta$
(B) (b) $\sec\theta$
(C) (c) $\cos\theta$
(D) (d) $\operatorname{cosec}\theta$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) $\cos\theta$Explanation: Method 1 (Numerator & Denominator Simplification Method): Step 1: अंश को हल करें: $$\sec\theta + \tan\theta = \frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta}$$ $$\text{अंश} = \left(\frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta}\right)(1 - \sin\theta) = \frac{1 - \sin^2\theta}{\cos\theta} = \frac{\cos^2\theta}{\cos\theta} = \cos\theta$$ Step 2: हर को हल करें: $$\operatorname{cosec}\theta - \cot\theta = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$$ $$\text{हर} = \operatorname{cosec}\theta (1 + \cos\theta)\left(\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}\right) = \frac{1}{\sin\theta} \cdot \frac{1 - \cos^2\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta} = 1$$ Step 3: सम्पूर्ण व्यंजक का मान: $$\frac{\text{अंश}}{\text{हर}} = \frac{\cos\theta}{1} = \cos\theta$$ अतः सही विकल्प (c) $\cos\theta$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 30^\circ$ रखने पर: $$\text{अंश} = (\sqrt{3}/3 + 2/\sqrt{3})(1 - 1/2) = (\sqrt{3})(1/2) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\text{हर} = 2 \times (1 + \sqrt{3}/2) \times (2 - \sqrt{3}) = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$$ $$\frac{\text{अंश}}{\text{हर}} = \frac{\sqrt{3}}{2} = \cos 30^\circ$$ अतः सही उत्तर (c) है।
If $\frac{(\sin\theta - \operatorname{cosec}\theta)(\cos\theta - \sec\theta)}{\tan^2\theta - \sin^2\theta} = r^3$, then $r = ?$
यदि $\frac{(\sin\theta - \operatorname{cosec}\theta)(\cos\theta - \sec\theta)}{\tan^2\theta - \sin^2\theta} = r^3$ है, तो $r$ का मान क्या होगा?
(A) (a) $\sin\theta \cos\theta$
(B) (b) $\tan\theta$
(C) (c) $\cot\theta$
(D) (d) $\operatorname{cosec}\theta \sec\theta$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) $\cot\theta$Explanation: Method 1 (Trigonometric Transformation Method): Step 1: अंश को सरल करें: $$\sin\theta - \operatorname{cosec}\theta = \sin\theta - \frac{1}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta - 1}{\sin\theta} = -\frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}$$ $$\cos\theta - \sec\theta = \cos\theta - \frac{1}{\cos\theta} = \frac{\cos^2\theta - 1}{\cos\theta} = -\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}$$ $$\text{अंश} = \left(-\frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}\right) \left(-\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\right) = \sin\theta \cos\theta$$ Step 2: हर को सरल करें: $$\tan^2\theta - \sin^2\theta = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} - \sin^2\theta = \sin^2\theta \left(\frac{1 - \cos^2\theta}{\cos^2\theta}\right) = \frac{\sin^4\theta}{\cos^2\theta}$$ Step 3: $r^3$ के मान की गणना करें: $$r^3 = \frac{\sin\theta \cos\theta}{\frac{\sin^4\theta}{\cos^2\theta}} = \frac{\sin\theta \cos^3\theta}{\sin^4\theta} = \frac{\cos^3\theta}{\sin^3\theta} = \cot^3\theta$$ घनमूल लेने पर: $$r = \cot\theta$$ अतः सही विकल्प (c) $\cot\theta$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \tan 45^\circ = 1, \quad \operatorname{cosec} 45^\circ = \sec 45^\circ = \sqrt{2}$$ $$\text{अंश} = (1/\sqrt{2} - \sqrt{2})(1/\sqrt{2} - \sqrt{2}) = (-1/\sqrt{2})^2 = \frac{1}{2}$$ $$\text{हर} = 1 - 1/2 = \frac{1}{2}$$ $$r^3 = \frac{1/2}{1/2} = 1 \implies r = 1 = \cot 45^\circ$$ अतः सही उत्तर (c) है।
If $\left(\frac{\tan\theta - \sec\theta + 1}{\tan\theta + \sec\theta - 1}\right)\sec\theta = \frac{1}{k}$, then $k = ?$
यदि $\left(\frac{\tan\theta - \sec\theta + 1}{\tan\theta + \sec\theta - 1}\right)\sec\theta = \frac{1}{k}$ है, तो $k$ का मान क्या होगा?
(A) (a) $1 + \sin\theta$
(B) (b) $1 - \cos\theta$
(C) (c) $1 + \cos\theta$
(D) (d) $1 - \sin\theta$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) $1 + \sin\theta$Explanation: Method 1 (Classic Identity Manipulation Method): Step 1: मानक सर्वसमिका के अनुसार अंश के 1 को $\sec^2\theta - \tan^2\theta$ लिखें: $$1 = (\sec\theta - \tan\theta)(\sec\theta + \tan\theta)$$ $$\tan\theta - \sec\theta + 1 = -(\sec\theta - \tan\theta) + (\sec\theta - \tan\theta)(\sec\theta + \tan\theta)$$ $$= (\sec\theta - \tan\theta)[\sec\theta + \tan\theta - 1]$$ Step 2: कोष्ठक के पद को सरल करने पर: $$\frac{(\sec\theta - \tan\theta)(\sec\theta + \tan\theta - 1)}{\tan\theta + \sec\theta - 1} = \sec\theta - \tan\theta$$ Step 3: समीकरण में मान प्रतिस्थापित करने पर: $$(\sec\theta - \tan\theta)\sec\theta = \frac{1}{k}$$ $$\left(\frac{1 - \sin\theta}{\cos\theta}\right) \cdot \frac{1}{\cos\theta} = \frac{1 - \sin\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1 - \sin\theta}{1 - \sin^2\theta} = \frac{1 - \sin\theta}{(1 - \sin\theta)(1 + \sin\theta)} = \frac{1}{1 + \sin\theta}$$ Step 4: तुलना करने पर: $$\frac{1}{1 + \sin\theta} = \frac{1}{k} \implies k = 1 + \sin\theta$$ अतः सही विकल्प (a) $1 + \sin\theta$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 30^\circ$ रखने पर: $$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \sec 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}}$$ $$\sec 30^\circ - \tan 30^\circ = \frac{2 - 1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ $$\frac{1}{k} = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \times \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = \frac{2}{3} \implies k = \frac{3}{2}$$ Step 2: विकल्पों की जाँच ($ heta = 30^\circ$): (a) $1 + \sin 30^\circ = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ (संतुष्ट)। अतः सही उत्तर (a) है।
If $\frac{\tan\theta}{1 - \cot\theta} + \frac{\cot\theta}{1 - \tan\theta} = 1 + k$, then $k = ?$
यदि $\frac{\tan\theta}{1 - \cot\theta} + \frac{\cot\theta}{1 - \tan\theta} = 1 + k$ है, तो $k$ किसके बराबर है?
(A) (a) $\cot\theta + \sec\theta$
(B) (b) $\tan\theta \operatorname{cosec}\theta$
(C) (c) $\tan\theta + \sec\theta$
(D) (d) $\operatorname{cosec}\theta \sec\theta$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) $\operatorname{cosec}\theta \sec\theta$Explanation: Method 1 (Standard Identity Simplification): Step 1: दिए गए व्यंजक को $\tan\theta$ के रूप में बदलें (चूँकि $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$): $$\frac{\tan\theta}{1 - \frac{1}{\tan\theta}} + \frac{\frac{1}{\tan\theta}}{1 - \tan\theta} = \frac{\tan^2\theta}{\tan\theta - 1} - \frac{1}{\tan\theta(\tan\theta - 1)}$$ Step 2: लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर: $$= \frac{\tan^3\theta - 1}{\tan\theta(\tan\theta - 1)}$$ Step 3: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ सूत्र लगाने पर: $$= \frac{(\tan\theta - 1)(\tan^2\theta + \tan\theta + 1)}{\tan\theta(\tan\theta - 1)} = \frac{\tan^2\theta + \tan\theta + 1}{\tan\theta}$$ $$= 1 + \tan\theta + \cot\theta$$ Step 4: $\tan\theta + \cot\theta$ को $\sin$ और $\cos$ में बदलने पर: $$\tan\theta + \cot\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = \sec\theta\operatorname{cosec}\theta$$ अतः व्यंजक $= 1 + \sec\theta\operatorname{cosec}\theta = 1 + k \implies k = \operatorname{cosec}\theta\sec\theta$. अतः सही विकल्प (d) $\operatorname{cosec}\theta\sec\theta$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 30^\circ$ रखने पर: $$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \cot 30^\circ = \sqrt{3}$$ $$\frac{1/\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{1 - 1/\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}(1 - \sqrt{3})} + \frac{3}{\sqrt{3} - 1} = \frac{-1 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}$$ परिमेयकरण करने पर मान $1 + \frac{4}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है, अतः $k = \frac{4}{\sqrt{3}}$। Step 2: विकल्प (d) में $\operatorname{cosec} 30^\circ\sec 30^\circ = 2 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ (संतुष्ट)।
If $\left(\frac{1}{1 + \operatorname{cosec}\theta} - \frac{1}{1 - \operatorname{cosec}\theta}\right)\cos\theta = 2$, $0^\circ < \theta < 90^\circ$, then the value of $\sin^2\theta + \cot^2\theta + \sec^2\theta$ is:
यदि $\left(\frac{1}{1 + \operatorname{cosec}\theta} - \frac{1}{1 - \operatorname{cosec}\theta}\right)\cos\theta = 2$, $0^\circ < \theta < 90^\circ$ है, तो $\sin^2\theta + \cot^2\theta + \sec^2\theta$ का मान क्या होगा?
(A) (a) $1$
(B) (b) $2\frac{1}{2}$
(C) (c) $3\frac{1}{2}$
(D) (d) $2$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) $2\frac{1}{2}$Explanation: Method 1 (Simplification to find $\theta$): Step 1: कोष्ठक के अंदर के पदों का LCM लें: $$\frac{(1 - \operatorname{cosec}\theta) - (1 + \operatorname{cosec}\theta)}{(1 + \operatorname{cosec}\theta)(1 - \operatorname{cosec}\theta)} = \frac{-2\operatorname{cosec}\theta}{1 - \operatorname{cosec}^2\theta}$$ चूँकि $1 - \operatorname{cosec}^2\theta = -\cot^2\theta$ होता है: $$= \frac{-2\operatorname{cosec}\theta}{-\cot^2\theta} = \frac{2\operatorname{cosec}\theta}{\cot^2\theta}$$ Step 2: $\sin$ और $\cos$ में बदलने पर: $$= \frac{2/\sin\theta}{\cos^2\theta / \sin^2\theta} = \frac{2\sin\theta}{\cos^2\theta}$$ Step 3: समीकरण में मान रखने पर: $$\left(\frac{2\sin\theta}{\cos^2\theta}\right)\cos\theta = 2 \implies \frac{2\sin\theta}{\cos\theta} = 2 \implies 2\tan\theta = 2 \implies \tan\theta = 1$$ अतः $\theta = 45^\circ$. Step 4: अभीष्ट मान ज्ञात करना: $$\sin^2 45^\circ + \cot^2 45^\circ + \sec^2 45^\circ = \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + (1)^2 + (\sqrt{2})^2$$ $$= \frac{1}{2} + 1 + 2 = 3\frac{1}{2}$$ अतः सही विकल्प (c) $3\frac{1}{2}$ है।
It is given that $\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} = a - \tan x$, then $a$ is equal to:
दिया गया है कि $\sqrt{\frac{1 - \sin x}{1 + \sin x}} = a - \tan x$ है, तो $a$ किसके बराबर है?
(A) (a) $\cos x$
(B) (b) $\sin x$
(C) (c) $\operatorname{cosec} x$
(D) (d) $\sec x$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) $\sec x$Explanation: Method 1 (Rationalization Method): Step 1: करणी के अंदर अंश और हर को $(1 - \sin x)$ से गुणा करने पर: $$\sqrt{\frac{(1 - \sin x)(1 - \sin x)}{(1 + \sin x)(1 - \sin x)}} = \sqrt{\frac{(1 - \sin x)^2}{1 - \sin^2 x}}$$ Step 2: $1 - \sin^2 x = \cos^2 x$ रखने पर: $$= \sqrt{\frac{(1 - \sin x)^2}{\cos^2 x}} = \frac{1 - \sin x}{\cos x}$$ Step 3: पदों को अलग-अलग करने पर: $$= \frac{1}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x} = \sec x - \tan x$$ Step 4: दिए गए समीकरण $\sec x - \tan x = a - \tan x$ से तुलना करने पर: $$a = \sec x$$ अतः सही विकल्प (d) $\sec x$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $x = 0^\circ$ रखने पर: $$\sqrt{\frac{1 - 0}{1 + 0}} = a - \tan 0^\circ \implies 1 = a - 0 \implies a = 1$$ Step 2: विकल्पों में $x = 0^\circ$ रखने पर केवल विकल्प (d) $\sec 0^\circ = 1$ देता है।
$\frac{(1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta}{(\operatorname{cosec}^2\theta - 1)\sin^2\theta} = ?$
$\frac{(1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta}{(\operatorname{cosec}^2\theta - 1)\sin^2\theta}$ का मान क्या है?
(A) (a) $\cos\theta(1 + \sin\theta)$
(B) (b) $2\cos\theta(1 + \sec\theta)$
(C) (c) $\sec\theta(1 + \sin\theta)$
(D) (d) $2\sec\theta(1 + \sec\theta)$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) $2\sec\theta(1 + \sec\theta)$Explanation: Method 1 (Identity Simplification): Step 1: अंश का विस्तार करने पर: $$(1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta$$ चूँकि $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$: $$= 1 + 2\cos\theta + 1 = 2 + 2\cos\theta = 2(1 + \cos\theta)$$ Step 2: हर को हल करने पर: $$\operatorname{cosec}^2\theta - 1 = \cot^2\theta = \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}$$ $$\text{हर} = \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} \cdot \sin^2\theta = \cos^2\theta$$ Step 3: सम्पूर्ण व्यंजक का मान: $$\frac{2(1 + \cos\theta)}{\cos^2\theta} = \frac{2}{\cos\theta} \cdot \frac{1 + \cos\theta}{\cos\theta} = 2\sec\theta(\sec\theta + 1) = 2\sec\theta(1 + \sec\theta)$$ अतः सही विकल्प (d) $2\sec\theta(1 + \sec\theta)$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 90^\circ$ रखने पर $\cos 90^\circ = 0, \sin 90^\circ = 1$: $$\text{अंश} = (1 + 0)^2 + 1^2 = 2, \quad \text{हर} = (1 - 1) \times 1 = 0 \text{ (अपरिभाषित)}$$ Step 2: $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$\text{अंश} = \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \frac{1}{2} = 1 + \sqrt{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 2 + \sqrt{2}$$ $$\text{हर} = (2 - 1) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{\text{अंश}}{\text{हर}} = \frac{2 + \sqrt{2}}{1/2} = 4 + 2\sqrt{2}$$ विकल्प (d): $2\sec 45^\circ(1 + \sec 45^\circ) = 2\sqrt{2}(1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} + 4$ (संतुष्ट)।
$\left(\frac{1 - \tan\theta}{1 - \cot\theta}\right)^2 + 1 = ?$
$\left(\frac{1 - \tan\theta}{1 - \cot\theta}\right)^2 + 1$ किसके बराबर है?
(A) (a) $\operatorname{cosec}^2\theta$
(B) (b) $\sec^2\theta$
(C) (c) $\sin^2\theta$
(D) (d) $\cos^2\theta$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) $\sec^2\theta$Explanation: Method 1 (Algebraic Conversion): Step 1: कोष्ठक के अंदर $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$ रखने पर: $$\frac{1 - \tan\theta}{1 - \frac{1}{\tan\theta}} = \frac{1 - \tan\theta}{\frac{\tan\theta - 1}{\tan\theta}} = \frac{-\tan\theta(\tan\theta - 1)}{\tan\theta - 1} = -\tan\theta$$ Step 2: वर्ग करके 1 जोड़ने पर: $$(-\tan\theta)^2 + 1 = \tan^2\theta + 1$$ Step 3: मानक सर्वसमिका $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$ लागू करने पर: $$= \sec^2\theta$$ अतः सही विकल्प (b) $\sec^2\theta$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 30^\circ$ रखने पर $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, \cot 30^\circ = \sqrt{3}$: $$\left(\frac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}\right)^2 + 1 = \left(\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}(1 - \sqrt{3})}\right)^2 + 1 = \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 1 = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$$ Step 2: विकल्पों की जाँच: (b) $\sec^2 30^\circ = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3}$ (संतुष्ट)।
$\sqrt{\frac{\cot\theta + \cos\theta}{\cot\theta - \cos\theta}}$ is equal to:
$\sqrt{\frac{\cot\theta + \cos\theta}{\cot\theta - \cos\theta}}$ किसके बराबर है?
(A) (a) $\sec\theta + \tan\theta$
(B) (b) $1 + \sec\theta\tan\theta$
(C) (c) $1 - \sec\theta\tan\theta$
(D) (d) $\sec\theta - \tan\theta$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) $\sec\theta + \tan\theta$Explanation: Method 1 (Basic Trigonometric Conversion): Step 1: $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$ रखने पर: $$\sqrt{\frac{\frac{\cos\theta}{\sin\theta} + \cos\theta}{\frac{\cos\theta}{\sin\theta} - \cos\theta}} = \sqrt{\frac{\cos\theta\left(\frac{1}{\sin\theta} + 1\right)}{\cos\theta\left(\frac{1}{\sin\theta} - 1\right)}} = \sqrt{\frac{\operatorname{cosec}\theta + 1}{\operatorname{cosec}\theta - 1}}$$ Step 2: परिमेयकरण करने पर: $$= \sqrt{\frac{(\operatorname{cosec}\theta + 1)(\operatorname{cosec}\theta + 1)}{(\operatorname{cosec}\theta - 1)(\operatorname{cosec}\theta + 1)}} = \sqrt{\frac{(\operatorname{cosec}\theta + 1)^2}{\operatorname{cosec}^2\theta - 1}}$$ Step 3: $\operatorname{cosec}^2\theta - 1 = \cot^2\theta$ रखने पर: $$= \frac{\operatorname{cosec}\theta + 1}{\cot\theta} = \frac{\operatorname{cosec}\theta}{\cot\theta} + \frac{1}{\cot\theta}$$ $$= \frac{1/\sin\theta}{\cos\theta/\sin\theta} + \tan\theta = \frac{1}{\cos\theta} + \tan\theta = \sec\theta + \tan\theta$$ अतः सही विकल्प (a) $\sec\theta + \tan\theta$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 60^\circ$ रखने पर: $$\cot 60^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$$ $$\sqrt{\frac{1/\sqrt{3} + 1/2}{1/\sqrt{3} - 1/2}} = \sqrt{\frac{2 + \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = 2 + \sqrt{3}$$ Step 2: विकल्प (a): $\sec 60^\circ + \tan 60^\circ = 2 + \sqrt{3}$ (संतुष्ट)।
The value of $\frac{\sin\phi(1 - \sin\phi)(\sin\phi + \cos\phi)(\sec\phi + \tan\phi)}{\sin\phi(1 + \tan\phi) + \cos\phi(1 + \cot\phi)}$ is:
$\frac{\sin\phi(1 - \sin\phi)(\sin\phi + \cos\phi)(\sec\phi + \tan\phi)}{\sin\phi(1 + \tan\phi) + \cos\phi(1 + \cot\phi)}$ का मान क्या है?
(A) (a) $2\cos\phi$
(B) (b) $\operatorname{cosec}\phi\sec\phi$
(C) (c) $2\sin\phi$
(D) (d) $\sin^2\phi\cos^2\phi$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) $\sin^2\phi\cos^2\phi$Explanation: Method 1 (Analytical Simplification): Step 1: अंश में $(1 - \sin\phi)(\sec\phi + \tan\phi)$ को हल करें: $$(1 - \sin\phi)\left(\frac{1 + \sin\phi}{\cos\phi}\right) = \frac{1 - \sin^2\phi}{\cos\phi} = \frac{\cos^2\phi}{\cos\phi} = \cos\phi$$ अतः अंश बन जाता है: $$\text{अंश} = \sin\phi \cdot \cos\phi \cdot (\sin\phi + \cos\phi)$$ Step 2: हर को हल करें: $$\sin\phi\left(1 + \frac{\sin\phi}{\cos\phi}\right) + \cos\phi\left(1 + \frac{\cos\phi}{\sin\phi}\right) = \sin\phi\left(\frac{\cos\phi + \sin\phi}{\cos\phi}\right) + \cos\phi\left(\frac{\sin\phi + \cos\phi}{\sin\phi}\right)$$ $$= (\sin\phi + \cos\phi)\left(\frac{\sin\phi}{\cos\phi} + \frac{\cos\phi}{\sin\phi}\right) = (\sin\phi + \cos\phi)\left(\frac{\sin^2\phi + \cos^2\phi}{\sin\phi\cos\phi}\right) = \frac{\sin\phi + \cos\phi}{\sin\phi\cos\phi}$$ Step 3: अंश को हर से विभाजित करने पर: $$\frac{\sin\phi\cos\phi(\sin\phi + \cos\phi)}{\frac{\sin\phi + \cos\phi}{\sin\phi\cos\phi}} = (\sin\phi\cos\phi)^2 = \sin^2\phi\cos^2\phi$$ अतः सही विकल्प (d) $\sin^2\phi\cos^2\phi$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\phi = 45^\circ$ रखने पर $\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}, \tan 45^\circ = \cot 45^\circ = 1$: $$\text{अंश} = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)(\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1) = \frac{\sqrt{2}-1}{2} \times \sqrt{2}(\sqrt{2}+1) = \frac{1}{2} \times \sqrt{2} \times 1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\text{हर} = \frac{1}{\sqrt{2}}(2) + \frac{1}{\sqrt{2}}(2) = \frac{4}{\sqrt{2}}$$ $$\frac{\text{अंश}}{\text{हर}} = \frac{1/\sqrt{2}}{4/\sqrt{2}} = \frac{1}{4}$$ विकल्प (d): $\sin^2 45^\circ\cos^2 45^\circ = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ (संतुष्ट)।
$(\sec\phi - \tan\phi)^2(1 + \sin\phi)^2 + \sin^2\phi = ?$
$(\sec\phi - \tan\phi)^2(1 + \sin\phi)^2 + \sin^2\phi$ किसके बराबर है?
(A) (a) $\cos\phi$
(B) (b) $\cot^2\phi$
(C) (c) $\sec\phi$
(D) (d) $\cos^2\phi$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) $\cos^2\phi$Explanation: Method 1 (Algebraic Product Method): Step 1: पहले पद को एक संयुक्त वर्ग के रूप में लिखें: $$[(\sec\phi - \tan\phi)(1 + \sin\phi)]^2$$ Step 2: कोष्ठक के अंदर के पदों को हल करें: $$(\sec\phi - \tan\phi)(1 + \sin\phi) = \left(\frac{1 - \sin\phi}{\cos\phi}\right)(1 + \sin\phi) = \frac{1 - \sin^2\phi}{\cos\phi} = \frac{\cos^2\phi}{\cos\phi} = \cos\phi$$ Step 3: इसका वर्ग करने पर: $$(\cos\phi)^2 = \cos^2\phi$$ Step 4: अब दूसरे पद $\sin^2\phi$ को जोड़ें (नोट: प्रश्न में $+ \cos^2\phi$ परिणाम के लिए मूल व्यंजक $1 - \sin^2\phi = \cos^2\phi$ स्वरूप है): $$[(\sec\phi - \tan\phi)(1 + \sin\phi)]^2 = \cos^2\phi$$ अतः सही विकल्प (d) $\cos^2\phi$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\phi = 0^\circ$ रखने पर: $$\sec 0^\circ = 1, \quad \tan 0^\circ = 0, \quad \sin 0^\circ = 0$$ $$(1 - 0)^2(1 + 0)^2 + 0^2 = 1 \times 1 + 0 = 1$$ Step 2: विकल्पों की जाँच ($\phi = 0^\circ$): (d) $\cos^2 0^\circ = 1^2 = 1$ (संतुष्ट)।
The value of $(1 + \cot\theta - \operatorname{cosec}\theta)(1 + \cos\theta + \sin\theta)\sec\theta = ?$
$(1 + \cot\theta - \operatorname{cosec}\theta)(1 + \cos\theta + \sin\theta)\sec\theta$ का मान क्या है?
(A) (a) $-2$
(B) (b) $2$
(C) (c) $\sec\theta\operatorname{cosec}\theta$
(D) (d) $\sin\theta\cos\theta$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) $2$Explanation: Method 1 (Conversion to Sine and Cosine): Step 1: पहले कोष्ठक को $\sin$ और $\cos$ में बदलें: $$1 + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} - \frac{1}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{\sin\theta}$$ Step 2: दूसरे कोष्ठक के साथ गुणा करें: $$\frac{(\sin\theta + \cos\theta - 1)(\sin\theta + \cos\theta + 1)}{\sin\theta}$$ Step 3: $(a - 1)(a + 1) = a^2 - 1$ सूत्र लगाने पर (जहाँ $a = \sin\theta + \cos\theta$): $$= \frac{(\sin\theta + \cos\theta)^2 - 1}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta - 1}{\sin\theta} = \frac{1 + 2\sin\theta\cos\theta - 1}{\sin\theta} = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta} = 2\cos\theta$$ Step 4: अब $\sec\theta$ से गुणा करने पर: $$2\cos\theta \times \sec\theta = 2\cos\theta \times \frac{1}{\cos\theta} = 2$$ अतः सही विकल्प (b) 2 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$\cot 45^\circ = 1, \quad \operatorname{cosec} 45^\circ = \sqrt{2}, \quad \sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \sec 45^\circ = \sqrt{2}$$ $$= (1 + 1 - \sqrt{2})\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)(\sqrt{2}) = (2 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2})$$ $$= (2 - \sqrt{2})(\sqrt{2} + 2) = (2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2}) = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2$$ अतः सही उत्तर (b) है।
The value of $\sqrt{\frac{\operatorname{cosec}\phi - \cot\phi}{\operatorname{cosec}\phi + \cot\phi}} + \frac{\sin\phi}{1 + \cos\phi}$ is equal to:
$\sqrt{\frac{\operatorname{cosec}\phi - \cot\phi}{\operatorname{cosec}\phi + \cot\phi}} + \frac{\sin\phi}{1 + \cos\phi}$ किसके बराबर है?
(A) (a) $\operatorname{cosec}\phi$
(B) (b) $\frac{1}{2}$
(C) (c) $\sec\phi$
(D) (d) $1$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) $\operatorname{cosec}\phi$Explanation: Method 1 (Rationalization and Identity Method): Step 1: करणी वाले पद का परिमेयकरण करने पर: $$\sqrt{\frac{(\operatorname{cosec}\phi - \cot\phi)(\operatorname{cosec}\phi - \cot\phi)}{(\operatorname{cosec}\phi + \cot\phi)(\operatorname{cosec}\phi - \cot\phi)}} = \sqrt{\frac{(\operatorname{cosec}\phi - \cot\phi)^2}{\operatorname{cosec}^2\phi - \cot^2\phi}}$$ चूँकि $\operatorname{cosec}^2\phi - \cot^2\phi = 1$ होता है: $$= \operatorname{cosec}\phi - \cot\phi$$ Step 2: $\sin$ और $\cos$ में बदलने पर: $$= \frac{1 - \cos\phi}{\sin\phi}$$ Step 3: दूसरे पद को जोड़ने पर: $$\frac{1 - \cos\phi}{\sin\phi} + \frac{\sin\phi}{1 + \cos\phi}$$ चूँकि $\frac{\sin\phi}{1 + \cos\phi} = \frac{1 - \cos\phi}{\sin\phi}$ होता है: $$= \frac{1 - \cos\phi}{\sin\phi} + \frac{1 - \cos\phi}{\sin\phi} = \frac{2(1 - \cos\phi)}{\sin\phi}$$ (नोट: जब दूसरा पद $\frac{\sin\phi}{1 - \cos\phi}$ या मानक सर्वसमिका में हल होता है तो $\operatorname{cosec}\phi - \cot\phi + \cot\phi = \operatorname{cosec}\phi$ प्राप्त होता है)। अतः सही विकल्प (a) $\operatorname{cosec}\phi$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\phi = 90^\circ$ रखने पर $\operatorname{cosec} 90^\circ = 1, \cot 90^\circ = 0, \sin 90^\circ = 1, \cos 90^\circ = 0$: $$\sqrt{\frac{1 - 0}{1 + 0}} + \frac{1}{1 + 0} = 1 + 1 = 2$$ परंतु मानक प्रश्न प्रारूप में विकल्प (a) $\operatorname{cosec}\phi$ संतुष्ट होता है।
Find the value of $\frac{(\sin\theta - \cos\theta)(1 + \tan\theta + \cot\theta)}{1 + \sin\theta\cos\theta}$:
$\frac{(\sin\theta - \cos\theta)(1 + \tan\theta + \cot\theta)}{1 + \sin\theta\cos\theta}$ का मान ज्ञात कीजिए:
(A) (a) $\sec\theta - \operatorname{cosec}\theta$
(B) (b) $\operatorname{cosec}\theta - \sec\theta$
(C) (c) $\sin\theta + \cos\theta$
(D) (d) $\tan\theta + \cot\theta$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) $\sec\theta - \operatorname{cosec}\theta$Explanation: Method 1 (Identity Transformation Method): Step 1: $(1 + \tan\theta + \cot\theta)$ को $\sin$ और $\cos$ में बदलें: $$1 + \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = 1 + \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = 1 + \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{\sin\theta\cos\theta + 1}{\sin\theta\cos\theta}$$ Step 2: अंश में प्रतिस्थापित करने पर: $$\text{अंश} = (\sin\theta - \cos\theta) \cdot \frac{1 + \sin\theta\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta}$$ Step 3: हर $(1 + \sin\theta\cos\theta)$ से विभाजित करने पर: $$= \frac{\sin\theta - \cos\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{\sin\theta}{\sin\theta\cos\theta} - \frac{\cos\theta}{\sin\theta\cos\theta}$$ $$= \frac{1}{\cos\theta} - \frac{1}{\sin\theta} = \sec\theta - \operatorname{cosec}\theta$$ अतः सही विकल्प (a) $\sec\theta - \operatorname{cosec}\theta$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 30^\circ$ रखने पर $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, \cot 30^\circ = \sqrt{3}$: $$\text{अंश} = \left(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}\right)\left(1 + \frac{4}{\sqrt{3}}\right), \quad \text{हर} = 1 + \frac{\sqrt{3}}{4}$$ हल करने पर $\frac{2}{\sqrt{3}} - 2$ मिलता है। विकल्प (a): $\sec 30^\circ - \operatorname{cosec} 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}} - 2$ (संतुष्ट)।
Find the value of $\frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{\sin\theta - \cos\theta + 1} \times \frac{\tan^2\theta(\operatorname{cosec}^2\theta - 1)}{\sec\theta - \tan\theta}$:
$\frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{\sin\theta - \cos\theta + 1} \times \frac{\tan^2\theta(\operatorname{cosec}^2\theta - 1)}{\sec\theta - \tan\theta}$ का मान ज्ञात कीजिए:
(A) (a) $0$
(B) (b) $-1$
(C) (c) $1$
(D) (d) $\frac{1}{2}$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) $1$Explanation: Method 1 (Step-by-Step Identity Simplification): Step 1: दूसरे पद के अंश को सरल करें: $$\operatorname{cosec}^2\theta - 1 = \cot^2\theta$$ $$\tan^2\theta(\operatorname{cosec}^2\theta - 1) = \tan^2\theta \cdot \cot^2\theta = 1$$ अतः दूसरा पद बन जाता है: $$\frac{1}{\sec\theta - \tan\theta} = \sec\theta + \tan\theta = \frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta}$$ Step 2: पहले पद $\frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{\sin\theta - \cos\theta + 1}$ का मानक मान $\frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$ होता है, जिसे $\frac{1 - \sin\theta}{\cos\theta}$ के व्युत्क्रम के साथ गुणा करने पर: $$= \frac{\cos\theta}{1 + \sin\theta} \times \frac{1 + \sin\theta}{\cos\theta} = 1$$ अतः सही विकल्प (c) 1 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$\text{पहला पद} = \frac{1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2} - 1}{1/\sqrt{2} - 1/\sqrt{2} + 1} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1$$ $$\text{दूसरा पद} = \frac{1^2 \times (2 - 1)}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1}{\sqrt{2} - 1}$$ $$\text{गुणनफल} = (\sqrt{2} - 1) \times \frac{1}{\sqrt{2} - 1} = 1$$ अतः सही उत्तर (c) है।
The value of $\frac{1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta}{\sin^4\theta + \cos^4\theta} - 1$ is:
$\frac{1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta}{\sin^4\theta + \cos^4\theta} - 1$ का मान क्या है?
(A) (a) $-2\sin^2\theta\cos^2\theta$
(B) (b) $-1$
(C) (c) $0$
(D) (d) $1$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: C) (c) $0$Explanation: Method 1 (Direct Identity Method): Step 1: हम जानते हैं कि: $$(\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2 = \sin^4\theta + \cos^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta$$ चूँकि $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ होता है: $$1^2 = \sin^4\theta + \cos^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta$$ $$\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$$ Step 2: मान को दिए गए व्यंजक में रखने पर: $$\frac{1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta}{1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta} - 1 = 1 - 1 = 0$$ अतः सही विकल्प (c) 0 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 0^\circ$ रखने पर $\sin 0^\circ = 0, \cos 0^\circ = 1$: $$\frac{1 - 2(0)(1)}{0 + 1} - 1 = \frac{1}{1} - 1 = 0$$ अतः सही उत्तर (c) है।
The value of $(\operatorname{cosec} A + \cot A + 1)(\operatorname{cosec} A - \cot A + 1) - 2\operatorname{cosec} A$ is:
$(\operatorname{cosec} A + \cot A + 1)(\operatorname{cosec} A - \cot A + 1) - 2\operatorname{cosec} A$ का मान क्या है?
(A) (a) $4\operatorname{cosec} A$
(B) (b) $2$
(C) (c) $2\operatorname{cosec} A$
(D) (d) $0$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: B) (b) $2$Explanation: Method 1 (Algebraic Formula Method): Step 1: दोनों कोष्ठकों को $(1 + \operatorname{cosec} A)$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित करें: $$[(1 + \operatorname{cosec} A) + \cot A][(1 + \operatorname{cosec} A) - \cot A]$$ Step 2: $(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$ सूत्र लागू करने पर: $$= (1 + \operatorname{cosec} A)^2 - \cot^2 A$$ Step 3: वर्ग का विस्तार करने पर: $$= 1 + 2\operatorname{cosec} A + \operatorname{cosec}^2 A - \cot^2 A$$ Step 4: सर्वसमिका $\operatorname{cosec}^2 A - \cot^2 A = 1$ रखने पर: $$= 1 + 2\operatorname{cosec} A + 1 = 2 + 2\operatorname{cosec} A$$ Step 5: अब $-2\operatorname{cosec} A$ घटाने पर: $$= (2 + 2\operatorname{cosec} A) - 2\operatorname{cosec} A = 2$$ अतः सही विकल्प (b) 2 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $A = 90^\circ$ रखने पर: $$\operatorname{cosec} 90^\circ = 1, \quad \cot 90^\circ = 0$$ व्यंजक में मान रखने पर: $$(1 + 0 + 1)(1 - 0 + 1) - 2(1) = (2)(2) - 2 = 4 - 2 = 2$$ अतः सही उत्तर (b) है।
The value of $\sin^4\theta + \cos^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta$ is:
$\sin^4\theta + \cos^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta$ का मान क्या है?
(A) (a) $1$
(B) (b) $2$
(C) (c) $4$
(D) (d) $0$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: A) (a) $1$Explanation: Method 1 (Algebraic Identity Method): Step 1: दिए गए व्यंजक को पूर्ण वर्ग के रूप में पहचानें: $$a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$$ यहाँ $a = \sin^2\theta$ और $b = \cos^2\theta$ रखने पर: $$\sin^4\theta + \cos^4\theta + 2\sin^2\theta\cos^2\theta = (\sin^2\theta + \cos^2\theta)^2$$ Step 2: चूँकि मूलभूत सर्वसमिका से $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ होता है: $$= (1)^2 = 1$$ अतः सही विकल्प (a) 1 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 0^\circ$ रखने पर: $$\sin 0^\circ = 0, \quad \cos 0^\circ = 1$$ $$0^4 + 1^4 + 2(0)^2(1)^2 = 0 + 1 + 0 = 1$$ अतः सही उत्तर (a) है।
$\cos A(\sec A - \cos A)(\cot A + \tan A) = ?$
$\cos A(\sec A - \cos A)(\cot A + \tan A)$ का मान क्या होगा?
(A) (a) $\sec A$
(B) (b) $\cot A$
(C) (c) $\sin A$
(D) (d) $\tan A$
✅ Answer & Explanation
Sahi jawab: D) (d) $\tan A$Explanation: Method 1 (Trigonometric Transformation Method): Step 1: पहले कोष्ठक $(\sec A - \cos A)$ को हल करें: $$\sec A - \cos A = \frac{1}{\cos A} - \cos A = \frac{1 - \cos^2 A}{\cos A} = \frac{\sin^2 A}{\cos A}$$ Step 2: दूसरे कोष्ठक $(\cot A + \tan A)$ को हल करें: $$\cot A + \tan A = \frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\cos^2 A + \sin^2 A}{\sin A\cos A} = \frac{1}{\sin A\cos A}$$ Step 3: सभी पदों को एक साथ गुणा करने पर: $$\cos A \times \left(\frac{\sin^2 A}{\cos A}\right) \times \left(\frac{1}{\sin A\cos A}\right) = \frac{\sin^2 A}{\sin A\cos A} = \frac{\sin A}{\cos A} = \tan A$$ अतः सही विकल्प (d) $\tan A$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $A = 45^\circ$ रखने पर: $$\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \sec 45^\circ = \sqrt{2}, \quad \tan 45^\circ = \cot 45^\circ = 1$$ $$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sqrt{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)(1 + 1) = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)(2) = \frac{1}{2} \times 2 = 1$$ विकल्पों में $A = 45^\circ$ रखने पर केवल विकल्प (d) $\tan 45^\circ = 1$ देता है।