Mathematics: Trignometry Valueputting Mock Test – Free Online Practice

Mathematics: Trignometry Valueputting ke liye free mock test: 26 questions, timer, negative marking aur explanation ke saath. Koi login nahi, koi payment nahi — turant shuru karein.

Is Test Me Kya Milta Hai?

Mathematics: Trignometry Valueputting ke liye ye 26 questions ka practice set General Knowledge pattern par banaya gaya hai. Test me 45 second per question ka timer hai aur har galat answer par 0.25 marks kate jaate hain — bilkul asli exam jaisa. Submit karne ke baad aapko exact score, accuracy aur har question ka explanation milta hai. Bihar ke competitive exams (BPSC, BSSC, Bihar Police, BTSC) ki tayari karne wale students ke liye.

Practice Questions (26 of 26)

Neeche is set ke kuch questions hain — inhi par aapka timed test banega. Answer dekhne ke liye “Answer” par click karein.

1. $\frac{2 + \tan^2\theta + \cot^2\theta}{\sec\theta\operatorname{cosec}\theta}$ is equal to:
   $\frac{2 + \tan^2\theta + \cot^2\theta}{\sec\theta\operatorname{cosec}\theta}$ किसके बराबर है?
   (A) (a) $\cot\theta$

   (B) (b) $\cos\theta\sin\theta$

   (C) (c) $\sec\theta\operatorname{cosec}\theta$

   (D) (d) $\tan\theta$
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: C) (c) $\sec\theta\operatorname{cosec}\theta$

   Explanation: Method 1 (Identity Grouping Method): Step 1: अंश के 2 को $(1 + 1)$ में तोड़ें: $$2 + \tan^2\theta + \cot^2\theta = (1 + \tan^2\theta) + (1 + \cot^2\theta) = \sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta$$ Step 2: $\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta$ को $\sin$ और $\cos$ में बदलने पर: $$\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} + \frac{1}{\sin^2\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin^2\theta\cos^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta\cos^2\theta} = \sec^2\theta\operatorname{cosec}^2\theta$$ Step 3: दिए गए व्यंजक में मान रखने पर: $$\frac{\sec^2\theta\operatorname{cosec}^2\theta}{\sec\theta\operatorname{cosec}\theta} = \sec\theta\operatorname{cosec}\theta$$ अतः सही विकल्प (c) $\sec\theta\operatorname{cosec}\theta$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$\frac{2 + 1^2 + 1^2}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{4}{2} = 2$$ Step 2: विकल्पों की जाँच ($\theta = 45^\circ$): (c) $\sec 45^\circ\operatorname{cosec} 45^\circ = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ (संतुष्ट)।
2. The value of $\theta$ when $\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta = 1$ ($0^\circ \le \theta \le 90^\circ$) is:
   जब $\sqrt{3}\cos\theta + \sin\theta = 1$ ($0^\circ \le \theta \le 90^\circ$) है, तो $\theta$ का मान क्या होगा?
   (A) (a) $90^\circ$

   (B) (b) $60^\circ$

   (C) (c) $30^\circ$

   (D) (d) $0^\circ$
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: A) (a) $90^\circ$

   Explanation: Method 1 (Trigonometric Transformation Method): Step 1: दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर: $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta + \frac{1}{2}\sin\theta = \frac{1}{2}$$ Step 2: $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर: $$\sin 60^\circ\cos\theta + \cos 60^\circ\sin\theta = \frac{1}{2}$$ $$\sin(60^\circ + \theta) = \sin 30^\circ \quad \text{या} \quad \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 150^\circ$$ Step 3: दिए गए अंतराल ($0^\circ \le \theta \le 90^\circ$) में: $$60^\circ + \theta = 150^\circ \implies \theta = 150^\circ - 60^\circ = 90^\circ$$ अतः सही विकल्प (a) $90^\circ$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 90^\circ$ रखने पर: $$\sqrt{3}\cos 90^\circ + \sin 90^\circ = \sqrt{3}(0) + 1 = 1 \quad \text{(संतुष्ट)}$$ अतः सही उत्तर (a) है।
3. The value of $\sqrt{\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta} \times \sqrt{\tan^2\theta - \sin^2\theta}$ is equal to:
   $\sqrt{\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta} \times \sqrt{\tan^2\theta - \sin^2\theta}$ का मान किसके बराबर है?
   (A) (a) $\operatorname{cosec}\theta\sec^2\theta$

   (B) (b) $\sin\theta\sec^2\theta$

   (C) (c) $\sin\theta\cos^2\theta$

   (D) (d) $\operatorname{cosec}\theta\cos^2\theta$
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: B) (b) $\sin\theta\sec^2\theta$

   Explanation: Method 1 (Identity Simplification Method): Step 1: प्रथम पद $\sqrt{\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta}$ को हल करें: $$\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta = \frac{1}{\cos^2\theta} + \frac{1}{\sin^2\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin^2\theta\cos^2\theta} = \frac{1}{\sin^2\theta\cos^2\theta}$$ $$\sqrt{\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$$ Step 2: द्वितीय पद $\sqrt{\tan^2\theta - \sin^2\theta}$ को हल करें: $$\tan^2\theta - \sin^2\theta = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} - \sin^2\theta = \sin^2\theta\left(\frac{1 - \cos^2\theta}{\cos^2\theta}\right) = \frac{\sin^4\theta}{\cos^2\theta}$$ $$\sqrt{\tan^2\theta - \sin^2\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}$$ Step 3: दोनों को गुणा करने पर: $$\left(\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\right) \times \left(\frac{\sin^2\theta}{\cos\theta}\right) = \frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} = \sin\theta\sec^2\theta$$ अतः सही विकल्प (b) $\sin\theta\sec^2\theta$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$\sqrt{2 + 2} \times \sqrt{1 - 1/2} = \sqrt{4} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$ Step 2: विकल्पों की जाँच ($\theta = 45^\circ$): (b) $\sin 45^\circ\sec^2 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}} \times (\sqrt{2})^2 = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ (संतुष्ट)।
4. $(\operatorname{cosec} A - \sin A)^2 + (\sec A - \cos A)^2 - (\cot A - \tan A)^2$ is equal to:
   $(\operatorname{cosec} A - \sin A)^2 + (\sec A - \cos A)^2 - (\cot A - \tan A)^2$ का मान किसके बराबर है?
   (A) (a) $2$

   (B) (b) $0$

   (C) (c) $1$

   (D) (d) $-1$
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: C) (c) $1$

   Explanation: Method 1 (Algebraic and Trigonometric Expansion): Step 1: तीनों वर्गों का विस्तार करें: $$(\operatorname{cosec} A - \sin A)^2 = \operatorname{cosec}^2 A + \sin^2 A - 2$$ $$(\sec A - \cos A)^2 = \sec^2 A + \cos^2 A - 2$$ $$-(\cot A - \tan A)^2 = -(\cot^2 A + \tan^2 A - 2) = -\cot^2 A - \tan^2 A + 2$$ Step 2: सभी पदों को जोड़ने पर: $$= (\operatorname{cosec}^2 A - \cot^2 A) + (\sec^2 A - \tan^2 A) + (\sin^2 A + \cos^2 A) - 2 - 2 + 2$$ Step 3: मानक सर्वसमिकाएँ लागू करने पर: $$\operatorname{cosec}^2 A - \cot^2 A = 1, \quad \sec^2 A - \tan^2 A = 1, \quad \sin^2 A + \cos^2 A = 1$$ $$= 1 + 1 + 1 - 2 = 1$$ अतः सही विकल्प (c) 1 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $A = 45^\circ$ रखने पर: $$(\sqrt{2} - 1/\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} - 1/\sqrt{2})^2 - (1 - 1)^2$$ $$= (1/\sqrt{2})^2 + (1/\sqrt{2})^2 - 0 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$ अतः सही उत्तर (c) है।
5. If $3\sin\theta = 2\cos^2\theta$, $0^\circ < \theta < 90^\circ$, then the value of $(\tan^2\theta + \sec^2\theta - \operatorname{cosec}^2\theta)$ is:
   यदि $3\sin\theta = 2\cos^2\theta$, $0^\circ < \theta < 90^\circ$ है, तो $(\tan^2\theta + \sec^2\theta - \operatorname{cosec}^2\theta)$ का मान क्या होगा?
   (A) (a) $-2$

   (B) (b) $-\frac{7}{3}$

   (C) (c) $\frac{7}{3}$

   (D) (d) $2$
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: B) (b) $-\frac{7}{3}$

   Explanation: Method 1 (Quadratic Equation Method): Step 1: $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर: $$3\sin\theta = 2(1 - \sin^2\theta) \implies 2\sin^2\theta + 3\sin\theta - 2 = 0$$ Step 2: गुणनखंड करने पर: $$2\sin^2\theta + 4\sin\theta - \sin\theta - 2 = 0$$ $$2\sin\theta(\sin\theta + 2) - 1(\sin\theta + 2) = 0$$ $$(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 2) = 0$$ चूँकि $\sin\theta > 0$, अतः $\sin\theta = \frac{1}{2} \implies \theta = 30^\circ$. Step 3: $\theta = 30^\circ$ पर मान ज्ञात करने पर: $$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \sec 30^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}}, \quad \operatorname{cosec} 30^\circ = 2$$ $$\tan^2 30^\circ + \sec^2 30^\circ - \operatorname{cosec}^2 30^\circ = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} - 4 = \frac{5}{3} - 4 = -\frac{7}{3}$$ अतः सही विकल्प (b) $-\frac{7}{3}$ है। Method 2 (Direct Verification Method): Step 1: $\theta = 30^\circ$ रखने पर: $$3\sin 30^\circ = 3(1/2) = 1.5, \quad 2\cos^2 30^\circ = 2(3/4) = 1.5 \quad \text{(संतुष्ट)}$$ Step 2: व्यंजक का मान $= 1/3 + 4/3 - 4 = -\frac{7}{3}$.
6. If $\sin\theta\sec^2\theta = \frac{2}{3}$, $0^\circ < \theta < 90^\circ$, then the value of $(\tan^2\theta + \cos^2\theta)$ is:
   यदि $\sin\theta\sec^2\theta = \frac{2}{3}$, $0^\circ < \theta < 90^\circ$ है, तो $(\tan^2\theta + \cos^2\theta)$ का मान क्या होगा?
   (A) (a) $\frac{7}{6}$

   (B) (b) $\frac{11}{12}$

   (C) (c) $\frac{13}{12}$

   (D) (d) $\frac{5}{4}$
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: C) (c) $\frac{13}{12}$

   Explanation: Method 1 (Algebraic Equation in $\sin\theta$): Step 1: दिए गए समीकरण को $\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ द्वारा लिखें: $$\frac{\sin\theta}{\cos^2\theta} = \frac{2}{3} \implies 3\sin\theta = 2(1 - \sin^2\theta)$$ $$2\sin^2\theta + 3\sin\theta - 2 = 0$$ Step 2: गुणनखंड करने पर: $$(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 2) = 0 \implies \sin\theta = \frac{1}{2} \implies \theta = 30^\circ$$ Step 3: $\tan^2\theta + \cos^2\theta$ का मान निकालें: $$\tan^2 30^\circ + \cos^2 30^\circ = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{4 + 9}{12} = \frac{13}{12}$$ अतः सही विकल्प (c) $\frac{13}{12}$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 30^\circ$ रखने पर: $$\sin 30^\circ\sec^2 30^\circ = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3} \quad \text{(समीकरण संतुष्ट)}$$ Step 2: अभीष्ट मान $= \frac{1}{3} + \frac{3}{4} = \frac{13}{12}$.
7. Let $a = \frac{2\sin x}{1 + \sin x + \cos x}$ and $b = \frac{c}{1 + \sin x}$. If $a = b$, then $c = ?$
   मान लें $a = \frac{2\sin x}{1 + \sin x + \cos x}$ और $b = \frac{c}{1 + \sin x}$ है। यदि $a = b$ हो, तो $c$ का मान क्या होगा?
   (A) (a) $1 - \sin x\cos x$

   (B) (b) $1 + \sin x - \cos x$

   (C) (c) $1 + \sin x\cos x$

   (D) (d) $1 + \cos x\sin x$
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: B) (b) $1 + \sin x - \cos x$

   Explanation: Method 1 (Standard Trigonometric Transformation): Step 1: दिए गए संबंध से: $$c = a(1 + \sin x) = \frac{2\sin x(1 + \sin x)}{1 + \sin x + \cos x}$$ Step 2: अंश और हर को $(1 + \sin x - \cos x)$ से गुणा करके परिमेयकरण करने पर: $$c = 1 + \sin x - \cos x$$ Step 3: प्रत्यक्ष सत्यापन: $$(1 + \sin x - \cos x)(1 + \sin x + \cos x) = (1 + \sin x)^2 - \cos^2 x$$ $$= 1 + 2\sin x + \sin^2 x - (1 - \sin^2 x) = 2\sin x + 2\sin^2 x = 2\sin x(1 + \sin x)$$ अतः $\frac{2\sin x}{1 + \sin x + \cos x} = \frac{1 + \sin x - \cos x}{1 + \sin x} \implies c = 1 + \sin x - \cos x$. अतः सही विकल्प (b) $1 + \sin x - \cos x$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $x = 90^\circ$ रखने पर: $$a = \frac{2(1)}{1 + 1 + 0} = \frac{2}{2} = 1$$ $$b = \frac{c}{1 + 1} = \frac{c}{2}$$ चूँकि $a = b \implies 1 = \frac{c}{2} \implies c = 2$. Step 2: विकल्पों में $x = 90^\circ$ रखने पर: (b) $1 + \sin 90^\circ - \cos 90^\circ = 1 + 1 - 0 = 2$ (संतुष्ट)।
8. If $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\beta} + \frac{\cos\beta}{\sin\beta - \cos\alpha} = \frac{x}{\sin\alpha - \cos\beta} + \frac{\cos\beta}{\sin\beta + \cos\alpha}$, then $x$ is equal to:
   यदि $\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\beta} + \frac{\cos\beta}{\sin\beta - \cos\alpha} = \frac{x}{\sin\alpha - \cos\beta} + \frac{\cos\beta}{\sin\beta + \cos\alpha}$ है, तो $x$ किसके बराबर है?
   (A) (a) $\cos\beta$

   (B) (b) $\cos\alpha$

   (C) (c) $\sin\beta$

   (D) (d) $\sin\alpha$
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: B) (b) $\cos\alpha$

   Explanation: Method 1 (Symmetry and Algebraic Regrouping): Step 1: समान प्रकार के पदों को एक तरफ करने पर: $$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\beta} - \frac{x}{\sin\alpha - \cos\beta} = \frac{\cos\beta}{\sin\beta + \cos\alpha} - \frac{\cos\beta}{\sin\beta - \cos\alpha}$$ Step 2: सममितीय विश्लेषण (Symmetry analysis) के आधार पर जब $x = \cos\alpha$ रखा जाता है: $$\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha + \cos\beta} - \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\beta} = \cos\alpha\left[\frac{-2\cos\beta}{\sin^2\alpha - \cos^2\beta}\right]$$ यह दायें पक्ष के मान $\cos\beta\left[\frac{-2\cos\alpha}{\sin^2\beta - \cos^2\alpha}\right]$ के पूर्णतः समतुल्य होता है (चूँकि $\sin^2\alpha - \cos^2\beta = -( \sin^2\beta - \cos^2\alpha)$)। अतः $x = \cos\alpha$. अतः सही विकल्प (b) $\cos\alpha$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\alpha = 45^\circ, \beta = 45^\circ$ रखने पर: $$\cos\alpha = \sin\alpha = \cos\beta = \sin\beta = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ समीकरण के दोनों पक्षों में मानों की समरूपता की जाँच करने पर $x = \cos\alpha$ प्राप्त होता है।
9. The value of the expression $(\cos^6\theta + \sin^6\theta - 1)(\tan^2\theta + \cot^2\theta + 2)$ is:
   व्यंजक $(\cos^6\theta + \sin^6\theta - 1)(\tan^2\theta + \cot^2\theta + 2)$ का मान क्या है?
   (A) (a) $0$

   (B) (b) $-1$

   (C) (c) $-3$

   (D) (d) $1$
   ✅ Answer & Explanation

   Sahi jawab: C) (c) $-3$

   Explanation: Method 1 (Algebraic & Trigonometric Expansion): Step 1: पहले कोष्ठक को हल करें: $$\cos^6\theta + \sin^6\theta = 1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta$$ अतः पहला कोष्ठक बन जाता है: $$(1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta) - 1 = -3\sin^2\theta\cos^2\theta$$ Step 2: दूसरे कोष्ठक को हल करें: $$\tan^2\theta + \cot^2\theta + 2 = (\tan\theta + \cot\theta)^2 = \left(\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}\right)^2 = \frac{1}{\sin^2\theta\cos^2\theta}$$ Step 3: दोनों कोष्ठकों का गुणनफल निकालने पर: $$(-3\sin^2\theta\cos^2\theta) \times \left(\frac{1}{\sin^2\theta\cos^2\theta}\right) = -3$$ अतः सही विकल्प (c) $-3$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \tan 45^\circ = \cot 45^\circ = 1$$ $$\text{पहला कोष्ठक} = \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} - 1\right) = \frac{1}{4} - 1 = -\frac{3}{4}$$ $$\text{दूसरा कोष्ठक} = 1 + 1 + 2 = 4$$ $$\text{गुणनफल} = -\frac{3}{4} \times 4 = -3$$ अतः सही उत्तर (c) है।
10. $\frac{(2\sin A)(1 + \sin A)}{1 + \sin A + \cos A}$ is equal to:
    $\frac{(2\sin A)(1 + \sin A)}{1 + \sin A + \cos A}$ किसके बराबर है?
    (A) (a) $1 + \sin A - \cos A$

    (B) (b) $1 - \sin A\cos A$

    (C) (c) $1 + \cos A - \sin A$

    (D) (d) $1 + \sin A\cos A$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: A) (a) $1 + \sin A - \cos A$

    Explanation: Method 1 (Algebraic Multiplication Identity): Step 1: हम जानते हैं कि: $$(1 + \sin A - \cos A)(1 + \sin A + \cos A) = (1 + \sin A)^2 - \cos^2 A$$ $$= 1 + 2\sin A + \sin^2 A - (1 - \sin^2 A) = 2\sin A + 2\sin^2 A = 2\sin A(1 + \sin A)$$ Step 2: दोनों पक्षों को $(1 + \sin A + \cos A)$ से विभाजित करने पर: $$\frac{2\sin A(1 + \sin A)}{1 + \sin A + \cos A} = 1 + \sin A - \cos A$$ अतः सही विकल्प (a) $1 + \sin A - \cos A$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $A = 30^\circ$ रखने पर: $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\text{व्यंजक} = \frac{2(1/2)(1 + 1/2)}{1 + 1/2 + \sqrt{3}/2} = \frac{3/2}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{3 + \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$$ Step 2: विकल्प (a) की जाँच: $$1 + \sin 30^\circ - \cos 30^\circ = 1 + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \quad \text{(संतुष्ट)}$$ अतः सही उत्तर (a) है।
11. The value of $\tan^2\phi + \cot^2\phi - \sec^2\phi\operatorname{cosec}^2\phi$ is equal to:
    $\tan^2\phi + \cot^2\phi - \sec^2\phi\operatorname{cosec}^2\phi$ का मान किसके बराबर है?
    (A) (a) $-2$

    (B) (b) $1$

    (C) (c) $0$

    (D) (d) $-1$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: A) (a) $-2$

    Explanation: Method 1 (Standard Identity Product): Step 1: $\sec^2\phi\operatorname{cosec}^2\phi$ को मानक योग रूप में बदलें: $$\sec^2\phi\operatorname{cosec}^2\phi = \sec^2\phi + \operatorname{cosec}^2\phi$$ Step 2: $\sec^2\phi = 1 + \tan^2\phi$ और $\operatorname{cosec}^2\phi = 1 + \cot^2\phi$ रखने पर: $$\sec^2\phi\operatorname{cosec}^2\phi = (1 + \tan^2\phi) + (1 + \cot^2\phi) = \tan^2\phi + \cot^2\phi + 2$$ Step 3: दिए गए व्यंजक में मान प्रतिस्थापित करने पर: $$\tan^2\phi + \cot^2\phi - (\tan^2\phi + \cot^2\phi + 2) = -2$$ अतः सही विकल्प (a) $-2$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\phi = 45^\circ$ रखने पर: $$\tan 45^\circ = 1, \quad \cot 45^\circ = 1, \quad \sec 45^\circ = \sqrt{2}, \quad \operatorname{cosec} 45^\circ = \sqrt{2}$$ $$1^2 + 1^2 - (\sqrt{2})^2(\sqrt{2})^2 = 1 + 1 - (2 \times 2) = 2 - 4 = -2$$ अतः सही उत्तर (a) है।
12. The value of $(1 + \cot\theta - \operatorname{cosec}\theta)(1 + \cos\theta + \sin\theta)\sec\theta = ?$
    $(1 + \cot\theta - \operatorname{cosec}\theta)(1 + \cos\theta + \sin\theta)\sec\theta$ का मान क्या है?
    (A) (a) $-2$

    (B) (b) $2$

    (C) (c) $\sec\theta\operatorname{cosec}\theta$

    (D) (d) $\sin\theta\cos\theta$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: B) (b) $2$

    Explanation: Method 1 (Conversion to Sine & Cosine): Step 1: प्रथम कोष्ठक को $\sin$ और $\cos$ में बदलें: $$1 + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} - \frac{1}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta + \cos\theta - 1}{\sin\theta}$$ Step 2: दूसरे कोष्ठक के साथ गुणा करने पर: $$\frac{(\sin\theta + \cos\theta - 1)(\sin\theta + \cos\theta + 1)}{\sin\theta} = \frac{(\sin\theta + \cos\theta)^2 - 1}{\sin\theta}$$ $$= \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta + 2\sin\theta\cos\theta - 1}{\sin\theta} = \frac{1 + 2\sin\theta\cos\theta - 1}{\sin\theta} = \frac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin\theta} = 2\cos\theta$$ Step 3: अब $\sec\theta$ से गुणा करने पर: $$2\cos\theta \times \sec\theta = 2\cos\theta \times \frac{1}{\cos\theta} = 2$$ अतः सही विकल्प (b) 2 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$(1 + 1 - \sqrt{2})\left(1 + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)(\sqrt{2}) = (2 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})(\sqrt{2})$$ $$= (2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2}) = 2^2 - (\sqrt{2})^2 = 4 - 2 = 2$$ अतः सही उत्तर (b) है।
13. The value of $\frac{2(\sin^6\theta + \cos^6\theta) - 3(\sin^4\theta + \cos^4\theta)}{\cos^4\theta - \sin^4\theta - 2\cos^2\theta}$ is:
    $\frac{2(\sin^6\theta + \cos^6\theta) - 3(\sin^4\theta + \cos^4\theta)}{\cos^4\theta - \sin^4\theta - 2\cos^2\theta}$ का मान क्या होगा?
    (A) (a) $-1$

    (B) (b) $-2$

    (C) (c) $2$

    (D) (d) $1$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: D) (d) $1$

    Explanation: Method 1 (Standard Identity Simplification): Step 1: अंश को हल करें: $$\sin^6\theta + \cos^6\theta = 1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta$$ $$\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$$ $$\text{अंश} = 2(1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta) - 3(1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta)$$ $$= 2 - 6\sin^2\theta\cos^2\theta - 3 + 6\sin^2\theta\cos^2\theta = -1$$ Step 2: हर को हल करें: $$\cos^4\theta - \sin^4\theta = (\cos^2\theta - \sin^2\theta)(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$$ $$\text{हर} = (\cos^2\theta - \sin^2\theta) - 2\cos^2\theta = -\cos^2\theta - \sin^2\theta = -(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = -1$$ Step 3: अंश और हर का अनुपात: $$\frac{\text{अंश}}{\text{हर}} = \frac{-1}{-1} = 1$$ अतः सही विकल्प (d) 1 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 0^\circ$ रखने पर: $$\sin 0^\circ = 0, \quad \cos 0^\circ = 1$$ $$\text{अंश} = 2(0 + 1) - 3(0 + 1) = 2 - 3 = -1$$ $$\text{हर} = 1 - 0 - 2(1) = 1 - 2 = -1$$ $$\frac{-1}{-1} = 1$$ अतः सही उत्तर (d) है।
14. The value of $\frac{1 - \sin^2\theta\cos^2\theta}{\sin^4\theta + \cos^4\theta} - 1$ is:
    $\frac{1 - \sin^2\theta\cos^2\theta}{\sin^4\theta + \cos^4\theta} - 1$ का मान क्या है?
    (A) (a) $-2\sin^2\theta\cos^2\theta$

    (B) (b) $-1$

    (C) (c) $0$

    (D) (d) $1$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: C) (c) $0$

    Explanation: Method 1 (Direct Identity Method): Step 1: हर को $\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$ के रूप में लिखें। (नोट: प्रश्न प्रारूप में मुद्रण भेद के अनुसार मानक प्रश्न $\frac{1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta}{\sin^4\theta + \cos^4\theta} - 1$ होता है, जहाँ अंश और हर समान होते हैं): $$\frac{1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta}{1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta} - 1 = 1 - 1 = 0$$ अतः सही विकल्प (c) 0 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 0^\circ$ रखने पर: $$\sin 0^\circ = 0, \quad \cos 0^\circ = 1$$ $$\frac{1 - 0}{0 + 1} - 1 = \frac{1}{1} - 1 = 0$$ अतः सही उत्तर (c) है।
15. What is the value of $\frac{\sin(y - z) + \sin(y + z) + 2\sin y}{\sin(x - z) + \sin(x + z) + 2\sin x}$?
    $\frac{\sin(y - z) + \sin(y + z) + 2\sin y}{\sin(x - z) + \sin(x + z) + 2\sin x}$ का मान क्या है?
    (A) (a) $\cos x\sin y$

    (B) (b) $\frac{\sin y}{\sin x}$

    (C) (c) $\sin z$

    (D) (d) $\sin x\tan y$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: B) (b) $\frac{\sin y}{\sin x}$

    Explanation: Method 1 (Formula Transformation Method): Step 1: त्रिकोणमितीय योग सूत्र $\sin(A + B) + \sin(A - B) = 2\sin A\cos B$ का प्रयोग करने पर: $$\sin(y + z) + \sin(y - z) = 2\sin y\cos z$$ $$\sin(x + z) + \sin(x - z) = 2\sin x\cos z$$ Step 2: अंश और हर में मान प्रतिस्थापित करने पर: $$\text{अंश} = 2\sin y\cos z + 2\sin y = 2\sin y(\cos z + 1)$$ $$\text{हर} = 2\sin x\cos z + 2\sin x = 2\sin x(\cos z + 1)$$ Step 3: उभयनिष्ठ पद $2(\cos z + 1)$ को निरस्त करने पर: $$= \frac{2\sin y(\cos z + 1)}{2\sin x(\cos z + 1)} = \frac{\sin y}{\sin x}$$ अतः सही विकल्प (b) $\frac{\sin y}{\sin x}$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $z = 0^\circ$ रखने पर: $$\frac{\sin y + \sin y + 2\sin y}{\sin x + \sin x + 2\sin x} = \frac{4\sin y}{4\sin x} = \frac{\sin y}{\sin x}$$ अतः सही उत्तर (b) है।
16. If $\frac{\tan\theta}{1 - \cot\theta} + \frac{\cot\theta}{1 - \tan\theta} = 1 + k$, then $k = ?$
    यदि $\frac{\tan\theta}{1 - \cot\theta} + \frac{\cot\theta}{1 - \tan\theta} = 1 + k$ है, तो $k$ किसके बराबर है?
    (A) (a) $\cot\theta + \sec\theta$

    (B) (b) $\tan\theta\operatorname{cosec}\theta$

    (C) (c) $\tan\theta + \sec\theta$

    (D) (d) $\operatorname{cosec}\theta\sec\theta$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: D) (d) $\operatorname{cosec}\theta\sec\theta$

    Explanation: Method 1 (Standard Identity Simplification): Step 1: $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$ रखने पर: $$\frac{\tan\theta}{1 - \frac{1}{\tan\theta}} + \frac{\frac{1}{\tan\theta}}{1 - \tan\theta} = \frac{\tan^2\theta}{\tan\theta - 1} - \frac{1}{\tan\theta(\tan\theta - 1)}$$ Step 2: लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) लेने पर: $$= \frac{\tan^3\theta - 1}{\tan\theta(\tan\theta - 1)}$$ Step 3: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ सूत्र लागू करने पर: $$= \frac{(\tan\theta - 1)(\tan^2\theta + \tan\theta + 1)}{\tan\theta(\tan\theta - 1)} = \frac{\tan^2\theta + \tan\theta + 1}{\tan\theta}$$ $$= 1 + \tan\theta + \cot\theta$$ Step 4: $\tan\theta + \cot\theta$ को $\sin$ और $\cos$ में बदलने पर: $$\tan\theta + \cot\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta} = \frac{1}{\sin\theta\cos\theta} = \sec\theta\operatorname{cosec}\theta$$ अतः व्यंजक $= 1 + \sec\theta\operatorname{cosec}\theta = 1 + k \implies k = \operatorname{cosec}\theta\sec\theta$. अतः सही विकल्प (d) $\operatorname{cosec}\theta\sec\theta$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 30^\circ$ रखने पर: $$\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad \cot 30^\circ = \sqrt{3}$$ व्यंजक को हल करने पर मान $1 + \frac{4}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है, अतः $k = \frac{4}{\sqrt{3}}$। Step 2: विकल्प (d) में $\operatorname{cosec} 30^\circ\sec 30^\circ = 2 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$ (संतुष्ट)।
17. $\frac{(2\sin A)(1 + \sin A)}{1 + \sin A + \cos A}$ is equal to:
    $\frac{(2\sin A)(1 + \sin A)}{1 + \sin A + \cos A}$ किसके बराबर है?
    (A) (a) $1 + \sin A - \cos A$

    (B) (b) $1 - \sin A\cos A$

    (C) (c) $1 + \cos A - \sin A$

    (D) (d) $1 + \sin A\cos A$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: A) (a) $1 + \sin A - \cos A$

    Explanation: Method 1 (Algebraic Multiplication Identity): Step 1: हम जानते हैं कि: $$(1 + \sin A - \cos A)(1 + \sin A + \cos A) = (1 + \sin A)^2 - \cos^2 A$$ $$= 1 + 2\sin A + \sin^2 A - (1 - \sin^2 A) = 2\sin A + 2\sin^2 A = 2\sin A(1 + \sin A)$$ Step 2: दोनों पक्षों को $(1 + \sin A + \cos A)$ से विभाजित करने पर: $$\frac{2\sin A(1 + \sin A)}{1 + \sin A + \cos A} = 1 + \sin A - \cos A$$ अतः सही विकल्प (a) $1 + \sin A - \cos A$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $A = 30^\circ$ रखने पर: $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$\text{व्यंजक} = \frac{2(1/2)(1 + 1/2)}{1 + 1/2 + \sqrt{3}/2} = \frac{3/2}{\frac{3 + \sqrt{3}}{2}} = \frac{3}{3 + \sqrt{3}} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2}$$ Step 2: विकल्प (a) की जाँच: $$1 + \sin 30^\circ - \cos 30^\circ = 1 + \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 - \sqrt{3}}{2} \quad \text{(संतुष्ट)}$$ अतः सही उत्तर (a) है।
18. The value of $\tan^2\phi + \cot^2\phi - \sec^2\phi\operatorname{cosec}^2\phi$ is equal to:
    $\tan^2\phi + \cot^2\phi - \sec^2\phi\operatorname{cosec}^2\phi$ का मान किसके बराबर है?
    (A) (a) $-2$

    (B) (b) $1$

    (C) (c) $0$

    (D) (d) $-1$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: A) (a) $-2$

    Explanation: Method 1 (Standard Identity Product): Step 1: $\sec^2\phi\operatorname{cosec}^2\phi$ को मानक योग रूप में बदलें: $$\sec^2\phi\operatorname{cosec}^2\phi = \sec^2\phi + \operatorname{cosec}^2\phi$$ Step 2: $\sec^2\phi = 1 + \tan^2\phi$ और $\operatorname{cosec}^2\phi = 1 + \cot^2\phi$ रखने पर: $$\sec^2\phi\operatorname{cosec}^2\phi = (1 + \tan^2\phi) + (1 + \cot^2\phi) = \tan^2\phi + \cot^2\phi + 2$$ Step 3: दिए गए व्यंजक में मान प्रतिस्थापित करने पर: $$\tan^2\phi + \cot^2\phi - (\tan^2\phi + \cot^2\phi + 2) = -2$$ अतः सही विकल्प (a) $-2$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\phi = 45^\circ$ रखने पर: $$\tan 45^\circ = 1, \quad \cot 45^\circ = 1, \quad \sec 45^\circ = \sqrt{2}, \quad \operatorname{cosec} 45^\circ = \sqrt{2}$$ $$1^2 + 1^2 - (\sqrt{2})^2(\sqrt{2})^2 = 1 + 1 - (2 \times 2) = 2 - 4 = -2$$ अतः सही उत्तर (a) है।
19. The value of $\frac{\sec^2\theta}{\operatorname{cosec}^2\theta} + \frac{\operatorname{cosec}^2\theta}{\sec^2\theta} - (\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta)$ is:
    $\frac{\sec^2\theta}{\operatorname{cosec}^2\theta} + \frac{\operatorname{cosec}^2\theta}{\sec^2\theta} - (\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta)$ का मान क्या है?
    (A) (a) $0$

    (B) (b) $-2$

    (C) (c) $2$

    (D) (d) $1$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: B) (b) $-2$

    Explanation: Method 1 (Algebraic Conversion to $\tan$ and $\cot$): Step 1: पहले दो पदों को हल करें: $$\frac{\sec^2\theta}{\operatorname{cosec}^2\theta} = \frac{1/\cos^2\theta}{1/\sin^2\theta} = \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \tan^2\theta$$ $$\frac{\operatorname{cosec}^2\theta}{\sec^2\theta} = \frac{1/\sin^2\theta}{1/\cos^2\theta} = \frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta} = \cot^2\theta$$ Step 2: तीसरे पद $(\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta)$ को परिवर्तित करें: $$\sec^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta = (1 + \tan^2\theta) + (1 + \cot^2\theta) = \tan^2\theta + \cot^2\theta + 2$$ Step 3: सभी पदों को व्यंजक में रखने पर: $$(\tan^2\theta + \cot^2\theta) - (\tan^2\theta + \cot^2\theta + 2) = -2$$ अतः सही विकल्प (b) $-2$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$\sec 45^\circ = \sqrt{2}, \quad \operatorname{cosec} 45^\circ = \sqrt{2}$$ $$\frac{2}{2} + \frac{2}{2} - (2 + 2) = 1 + 1 - 4 = -2$$ अतः सही उत्तर (b) है।
20. The value of $\frac{2(\sin^6\theta + \cos^6\theta) - 3(\sin^4\theta + \cos^4\theta)}{\cos^4\theta - \sin^4\theta - 2\cos^2\theta}$ is:
    $\frac{2(\sin^6\theta + \cos^6\theta) - 3(\sin^4\theta + \cos^4\theta)}{\cos^4\theta - \sin^4\theta - 2\cos^2\theta}$ का मान क्या होगा?
    (A) (a) $-1$

    (B) (b) $-2$

    (C) (c) $2$

    (D) (d) $1$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: D) (d) $1$

    Explanation: Method 1 (Standard Identity Simplification): Step 1: अंश को हल करें: $$\sin^6\theta + \cos^6\theta = 1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta$$ $$\sin^4\theta + \cos^4\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$$ $$\text{अंश} = 2(1 - 3\sin^2\theta\cos^2\theta) - 3(1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta)$$ $$= 2 - 6\sin^2\theta\cos^2\theta - 3 + 6\sin^2\theta\cos^2\theta = -1$$ Step 2: हर को हल करें: $$\cos^4\theta - \sin^4\theta = (\cos^2\theta - \sin^2\theta)(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$$ $$\text{हर} = (\cos^2\theta - \sin^2\theta) - 2\cos^2\theta = -\cos^2\theta - \sin^2\theta = -(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = -1$$ Step 3: अंश और हर का अनुपात निकालने पर: $$\frac{\text{अंश}}{\text{हर}} = \frac{-1}{-1} = 1$$ अतः सही विकल्प (d) 1 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 0^\circ$ रखने पर: $$\sin 0^\circ = 0, \quad \cos 0^\circ = 1$$ $$\text{अंश} = 2(0 + 1) - 3(0 + 1) = 2 - 3 = -1$$ $$\text{हर} = 1 - 0 - 2(1) = 1 - 2 = -1$$ $$\frac{-1}{-1} = 1$$ अतः सही उत्तर (d) है।
21. The expression $3\sec^2\theta\tan^2\theta + \tan^6\theta - \sec^6\theta$ is equal to:
    व्यंजक $3\sec^2\theta\tan^2\theta + \tan^6\theta - \sec^6\theta$ किसके बराबर है?
    (A) (a) $-2$

    (B) (b) $1$

    (C) (c) $2$

    (D) (d) $-1$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: D) (d) $-1$

    Explanation: Method 1 (Algebraic Cube Formula Method): Step 1: हम जानते हैं कि $\sec^2\theta - \tan^2\theta = 1$ होता है। दोनों पक्षों का घन (cube) करने पर: $$(\sec^2\theta - \tan^2\theta)^3 = 1^3$$ Step 2: $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ सूत्र लागू करने पर: $$(\sec^2\theta)^3 - (\tan^2\theta)^3 - 3\sec^2\theta\tan^2\theta(\sec^2\theta - \tan^2\theta) = 1$$ $$\sec^6\theta - \tan^6\theta - 3\sec^2\theta\tan^2\theta(1) = 1$$ $$\sec^6\theta - \tan^6\theta - 3\sec^2\theta\tan^2\theta = 1$$ Step 3: दोनों पक्षों को $-1$ से गुणा करने पर: $$3\sec^2\theta\tan^2\theta + \tan^6\theta - \sec^6\theta = -1$$ अतः सही विकल्प (d) $-1$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 0^\circ$ रखने पर: $$\tan 0^\circ = 0, \quad \sec 0^\circ = 1$$ $$3(1)^2(0)^2 + (0)^6 - (1)^6 = 0 + 0 - 1 = -1$$ अतः सही उत्तर (d) है।
22. The value of $\frac{\sec^6\theta - \tan^6\theta - 3\sec^2\theta\tan^2\theta + 1}{\cos^4\theta - \sin^4\theta + 2\sin^2\theta + 2}$ is:
    $\frac{\sec^6\theta - \tan^6\theta - 3\sec^2\theta\tan^2\theta + 1}{\cos^4\theta - \sin^4\theta + 2\sin^2\theta + 2}$ का मान क्या है?
    (A) (a) $\frac{2}{3}$

    (B) (b) $1$

    (C) (c) $\frac{3}{4}$

    (D) (d) $\frac{1}{2}$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: A) (a) $\frac{2}{3}$

    Explanation: Method 1 (Standard Identity Simplification): Step 1: अंश को हल करें: सर्वसमिका $(\sec^2\theta - \tan^2\theta)^3 = 1$ के अनुसार: $$\sec^6\theta - \tan^6\theta - 3\sec^2\theta\tan^2\theta = 1$$ अतः अंश बन जाता है: $$\text{अंश} = 1 + 1 = 2$$ Step 2: हर को हल करें: $$\cos^4\theta - \sin^4\theta = (\cos^2\theta - \sin^2\theta)(\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$$ $$\text{हर} = (\cos^2\theta - \sin^2\theta) + 2\sin^2\theta + 2 = \cos^2\theta + \sin^2\theta + 2 = 1 + 2 = 3$$ Step 3: सम्पूर्ण व्यंजक का मान: $$\frac{\text{अंश}}{\text{हर}} = \frac{2}{3}$$ अतः सही विकल्प (a) $\frac{2}{3}$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 0^\circ$ रखने पर: $$\sec 0^\circ = 1, \quad \tan 0^\circ = 0, \quad \cos 0^\circ = 1, \quad \sin 0^\circ = 0$$ $$\text{अंश} = 1^6 - 0 - 0 + 1 = 2$$ $$\text{हर} = 1^4 - 0 + 0 + 2 = 3$$ $$\frac{\text{अंश}}{\text{हर}} = \frac{2}{3}$$ अतः सही उत्तर (a) है।
23. The value of $4\left[\frac{(1 - \sec A)^2 + (1 + \sec A)^2}{1 + \sec^2 A}\right]$ is:
    $4\left[\frac{(1 - \sec A)^2 + (1 + \sec A)^2}{1 + \sec^2 A}\right]$ का मान क्या होगा?
    (A) (a) $2$

    (B) (b) $4$

    (C) (c) $8$

    (D) (d) $1$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: C) (c) $8$

    Explanation: Method 1 (Algebraic Identity Method): Step 1: $(a - b)^2 + (a + b)^2 = 2(a^2 + b^2)$ सूत्र का प्रयोग करने पर: यहाँ $a = 1$ और $b = \sec A$ मान लें: $$(1 - \sec A)^2 + (1 + \sec A)^2 = 2(1^2 + \sec^2 A) = 2(1 + \sec^2 A)$$ Step 2: कोष्ठक के अंदर मान प्रतिस्थापित करने पर: $$\frac{2(1 + \sec^2 A)}{1 + \sec^2 A} = 2$$ Step 3: 4 से गुणा करने पर: $$4 \times 2 = 8$$ अतः सही विकल्प (c) 8 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $A = 0^\circ$ रखने पर (जहाँ $\sec 0^\circ = 1$): $$4\left[\frac{(1 - 1)^2 + (1 + 1)^2}{1 + 1^2}\right] = 4\left[\frac{0 + 4}{2}\right] = 4 \times 2 = 8$$ अतः सही उत्तर (c) है।
24. If $x = \operatorname{cosec} A + \cos A$ and $y = \operatorname{cosec} A - \cos A$, then find the value of $\left(\frac{2}{x + y}\right)^2 + \left(\frac{x - y}{2}\right)^2 - 1$.
    यदि $x = \operatorname{cosec} A + \cos A$ और $y = \operatorname{cosec} A - \cos A$ है, तो $\left(\frac{2}{x + y}\right)^2 + \left(\frac{x - y}{2}\right)^2 - 1$ का मान ज्ञात कीजिए।
    (A) (a) $3$

    (B) (b) $0$

    (C) (c) $2$

    (D) (d) $1$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: B) (b) $0$

    Explanation: Method 1 (Algebraic Sum & Difference Substitution): Step 1: $x + y$ और $x - y$ का मान निकालें: $$x + y = (\operatorname{cosec} A + \cos A) + (\operatorname{cosec} A - \cos A) = 2\operatorname{cosec} A$$ $$x - y = (\operatorname{cosec} A + \cos A) - (\operatorname{cosec} A - \cos A) = 2\cos A$$ Step 2: पदों को सरल करें: $$\frac{2}{x + y} = \frac{2}{2\operatorname{cosec} A} = \frac{1}{\operatorname{cosec} A} = \sin A$$ $$\frac{x - y}{2} = \frac{2\cos A}{2} = \cos A$$ Step 3: दिए गए व्यंजक में मान रखने पर: $$(\sin A)^2 + (\cos A)^2 - 1 = \sin^2 A + \cos^2 A - 1$$ चूँकि $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ होता है: $$= 1 - 1 = 0$$ अतः सही विकल्प (b) 0 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $A = 90^\circ$ रखने पर: $$\operatorname{cosec} 90^\circ = 1, \quad \cos 90^\circ = 0$$ $$x = 1 + 0 = 1, \quad y = 1 - 0 = 1$$ $$x + y = 2, \quad x - y = 0$$ $$\left(\frac{2}{2}\right)^2 + \left(\frac{0}{2}\right)^2 - 1 = 1^2 + 0 - 1 = 0$$ अतः सही उत्तर (b) है।
25. The value of $(\tan^2 A + \cot^2 A - 2) - \sec^2 A\operatorname{cosec}^2 A$ is:
    $(\tan^2 A + \cot^2 A - 2) - \sec^2 A\operatorname{cosec}^2 A$ का मान क्या है?
    (A) (a) $-4$

    (B) (b) $-1$

    (C) (c) $1$

    (D) (d) $4$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: A) (a) $-4$

    Explanation: Method 1 (Standard Identity Expansion): Step 1: $\sec^2 A\operatorname{cosec}^2 A$ को $\sec^2 A + \operatorname{cosec}^2 A$ के रूप में लिखें: $$\sec^2 A\operatorname{cosec}^2 A = \sec^2 A + \operatorname{cosec}^2 A$$ Step 2: $\sec^2 A = 1 + \tan^2 A$ तथा $\operatorname{cosec}^2 A = 1 + \cot^2 A$ रखने पर: $$\sec^2 A\operatorname{cosec}^2 A = (1 + \tan^2 A) + (1 + \cot^2 A) = \tan^2 A + \cot^2 A + 2$$ Step 3: व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $$(\tan^2 A + \cot^2 A - 2) - (\tan^2 A + \cot^2 A + 2)$$ $$= \tan^2 A + \cot^2 A - 2 - \tan^2 A - \cot^2 A - 2 = -4$$ अतः सही विकल्प (a) $-4$ है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $A = 45^\circ$ रखने पर: $$\tan 45^\circ = 1, \quad \cot 45^\circ = 1, \quad \sec 45^\circ = \sqrt{2}, \quad \operatorname{cosec} 45^\circ = \sqrt{2}$$ $$(1^2 + 1^2 - 2) - (\sqrt{2})^2(\sqrt{2})^2 = (2 - 2) - (2 \times 2) = 0 - 4 = -4$$ अतः सही उत्तर (a) है।
26. If $(\sin\theta + \operatorname{cosec}\theta)^2 + (\cos\theta + \sec\theta)^2 = k + \tan^2\theta + \cot^2\theta$, then the value of $k$ is equal to:
    यदि $(\sin\theta + \operatorname{cosec}\theta)^2 + (\cos\theta + \sec\theta)^2 = k + \tan^2\theta + \cot^2\theta$ है, तो $k$ का मान क्या होगा?
    (A) (a) $7$

    (B) (b) $2$

    (C) (c) $9$

    (D) (d) $5$
    ✅ Answer & Explanation

    Sahi jawab: A) (a) $7$

    Explanation: Method 1 (Algebraic Expansion Method): Step 1: बाएँ पक्ष के दोनों वर्गों का विस्तार करें: $$(\sin\theta + \operatorname{cosec}\theta)^2 = \sin^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta + 2\sin\theta\operatorname{cosec}\theta = \sin^2\theta + \operatorname{cosec}^2\theta + 2$$ $$(\cos\theta + \sec\theta)^2 = \cos^2\theta + \sec^2\theta + 2\cos\theta\sec\theta = \cos^2\theta + \sec^2\theta + 2$$ Step 2: दोनों का योग करने पर: $$= (\sin^2\theta + \cos^2\theta) + \operatorname{cosec}^2\theta + \sec^2\theta + 4$$ चूँकि $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$: $$= 1 + 4 + \operatorname{cosec}^2\theta + \sec^2\theta = 5 + \operatorname{cosec}^2\theta + \sec^2\theta$$ Step 3: $\operatorname{cosec}^2\theta = 1 + \cot^2\theta$ और $\sec^2\theta = 1 + \tan^2\theta$ रखने पर: $$= 5 + (1 + \cot^2\theta) + (1 + \tan^2\theta) = 7 + \tan^2\theta + \cot^2\theta$$ Step 4: दिए गए समीकरण $k + \tan^2\theta + \cot^2\theta$ से तुलना करने पर: $$k = 7$$ अतः सही विकल्प (a) 7 है। Method 2 (Value Putting Method): Step 1: $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad \operatorname{cosec} 45^\circ = \sec 45^\circ = \sqrt{2}$$ $$\left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}} + \sqrt{2}\right)^2 = 2 \times \left(\frac{3}{\sqrt{2}}\right)^2 = 2 \times \frac{9}{2} = 9$$ Step 2: दाएँ पक्ष में $\theta = 45^\circ$ रखने पर: $$k + \tan^2 45^\circ + \cot^2 45^\circ = k + 1 + 1 = k + 2$$ $$k + 2 = 9 \implies k = 7$$ अतः सही उत्तर (a) है।

Frequently Asked Questions